Математика

АКСИОМА (AXIOME). Недоказуемое положение, служащее для доказательства других положений. Являются ли аксиомы истинными? Долгое время считалось, что являются. По мнению Спинозы или Канта, аксиома — это истина, очевидность которой ясна без доказательств, а потому и не нуждается в них. Современные математики и логики склонны рассматривать аксиомы как чистые конвенции или гипотезы, которые не могут быть очевидными истинами.

АРГУМЕНТ (лат. argumentum). 1. В логике — суждение (или система суждений), приводимое в подтверждение истинности какого-либо другого суждения (или системы суждений); посылка доказательства, иначе наз. основанием, или доводом, доказательства; иногда аргументом называют все доказательства в целом. 2. В математике и математической логике — независимая переменная, от значения которой зависит значение данной функции или предиката.

Философский словарь. Под ред. И.Т. Фролова. М., 1991, с. 30.

АЛГОРИТМ (алгорифм) (лат. Algorithmi — имя среднеазиатского математика аль-Хорезми) —точное предписание о выполнении в определенном порядке некоторой системы операций, ведущих к решению всех задач данного типа. Простейшими примерами алгоритма являются арифметические правила сложения, вычитания, умножения и деления, правила извлечения квадратного корня, способ нахождения общего наибольшего делителя для двух любых натуральных чисел и др. По существу, с алгоритмом мы имеем дело всегда, когда обладаем средствами решать ту или иную задачу в общем виде, т. е.

ФУНКЦИЯ (лат. functio — исполнение, совершение). 1. Внешнее проявление свойств какого-либо объекта в данной системе отношений, например функции органов чувств в организме, функции денег, функции государства в обществе и т. д. Ряд идеалистических направлений пытается свести науку к описанию Ф. объектов, отрицая не только возможность познания сущности, законов вещей, но и их существование (махизм, бихевиоризм и т. д.). 2. В математике и логике Ф.

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ — форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями или отражающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенное количественное изменение др. Объективно Ф. з. проявляется в виде законов и отношений, обладающих точной количественной определенностью. Они могут быть в принципе выражены в виде уравнений, объединяющих данные величины или явления как функцию и аргумент. Ф. з.

ФОРМАЛИЗОВАННЫЙ ЯЗЫК — исчисление, которому приписана интерпретация (Интерпретация и модель). Синтаксическая часть Ф. я. (Логический синтаксис), или само исчисление, образуется чисто формально (Логистический метод). Исчисление становится Ф. я. при добавлении семантических правил, приписывающих значения (Значение и смысл) правильно построенным выражениям исчисления. Ф. я. может помимо чисто логических аксиом содержать также некоторые утверждения нелогического характера (напр., некоторые законы биологии, аксиомы арифметики и др.), тогда Ф. я.

ФОРМАЛИЗМ — 1. Художественный метод, в основе которого лежит абсолютизация, эстетизация формы в искусстве, противоположен реализму. Возник в конце 19 — начале 20 в., объединив многочисленные течения и школы искусства (футуризм, кубизм, абстракционизм, сюрреализм, фовизм, ташизм, эспрессионизм и т. д.). 2. Направление в математике, пытающееся получить решение проблем основания математики при помощи формально-аксиоматических построений. Ф. возник в начале 20 в. (нем. математик Гильберт и его сотрудники В. Аккерман, П. Бернайс, Дж. Нейман).

ТОЧНОСТЬ—1) качество человеческого знания и действия, означающее строгое соответствие исторически сложившемуся или заранее установленному стандарту, образцу, норме, принципу, правилу, заданному способу действия, противопоставляемое неопределенности, расплывчатости, двусмысленности, необязательности, неточности; 2) одно из фундаментальных понятий гносеологии, логики и методологии науки, характеризующее степень (меру) соответствия научного знания реальности и особенности его организации, регулирующее процессы воспроизведения объекта в рамках научной теории.

ТОЖДЕСТВО — категория, выражающая равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов. О предметах А и В говорят, что они являются тождественными, одними и теми же, неразличимыми, если и только если все свойства (и отношения), которые характеризуют А, характеризуют и В, и наоборот (закон Лейбница). Однако, поскольку материальная действительность постоянно изменяется, абсолютно тождественных самим себе предметов, даже в их существенных, основных свойствах, не бывает. Тождество является не абстрактным, а конкретным, т. е.

ТИПОВ ТЕОРИЯ (иерархия типов) — способ построения формальной (математической) логики, при котором вводится различение объектов различных уровней (типов); один из способов исключения из логики и теории множеств парадоксов и антиномий. Впервые Типов теорию развил Э. Шрёдер в применении к логике классов (1890). В 1908— 1910 годы Рассел построил детальную систему Типов теории в применении к исчислению предикатов; ее смысл состоит в различении по типам: индивидов (тип 1), их свойств (тип 2), свойств свойств (тип 3) и т. д.; внутри типов вводится деление на порядки.