Логицизм (НФЭ, 2010)
ЛОГИЦИЗМ – одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом и формализмом. Основополагающим фактором в становлении философии логицизма явилось развитие на рубеже 19–20 вв. логики символической, которую логицизм рассматривает, как органон математики, а точнее, сводит математические утверждения к формальным импликациям логики. Г. Фреге первый построил систему теории множеств, которая практически была логической, поскольку основной принцип свертки: каждое свойство определяет множество удовлетворяющих ему элементов – имел неограниченную общность. Эта система оказалась противоречивой, но многие конструкции из нее использовались в дальнейшем.
По мере развития теории доказательств и теории моделей традиционный логицизм все больше сближался с формализмом, и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое направление. И все же отметим принципиальное методологическое отличие логицизма от формализма и от наивного платонизма. Если для формалиста абстрактный объект и понятия – не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции, а для платониста математические понятия уже существуют и он открывает их свойства, то для логициста идеальные понятия – плод мощных и фундаментальных логических конструкций, а не свободной игры ума, но вопрос об их существовании до и вне построений даже не ставится.
Логицизм конструирует математические понятия на базе одного из четырех фундаментальных отношений – принадлежности элемента классу «∈», применения функции к аргументу, именования и «часть–целое».
За решение грандиозной задачи явного построения математики как логической системы, базирующейся на отношении «∈» и свободной от парадоксов, взялись Уайтхед и его ученик Б. Рассел, написавшие энциклопедический и скрупулезный труд. Этот труд до сих пор остается непревзойденным в части явно проделанного конструктивного моделирования сложных математических понятий через простейшие. В нем выявлены многие тонкости, которые положили начало целым направлениям исследований.
Во-первых, Уайтхед и Рассел предложили во избежание парадоксов теории множеств разделить объекты на типы и строго разделять объекты разных типов. Так, исходные элементы были объектами нулевого типа, их множества – объектами первого типа, а множества объектов n-го типа – объектами n + 1-го типа. В любом отношении равенства правая и левая части должны иметь один и тот же тип, а в отношении принадлежности t∈и – тип объекта t должен быть на 1 меньше типа объекта и. Эта концепция строгой типизации была затем использована в λ-исчислении, в современной информатике и когнитивной науке. Она стала общепринятой в языках программирования высокого уровня. Тип объекта обычно обозначается верхним индексом: Xi.
При таком ограничении языка принцип свертки ∃Yi+1∀xi(x ∈ Y ⇔ А(х)), введенный Фреге и позволяющий определять множества, становится логическим принципом, поскольку на А(х) не нужно накладывать никаких ограничений кроме того, что она не содержит свободно Y. Поэтому типизированный язык с принципом свертки стали называть логикой высших порядков. Первым этот язык явно ввел польский логик Л. Хвистек в 1921.
Далее, они заметили, что в их языке равенство может быть формально выражено через отношение принадлежности:
∀xiyi(x = y ⇔ ∀Zi+1(x ∈ Z ⇔ y ∈ Z)).
Но принцип экстенсиональности, дающий возможность отождествлять множества с одинаковыми элементами, нужно постулировать отдельно:
∀Xi+1Yi+1(x = y ⇔ ∀zi(z ∈ X ⇔ z ∈ Y)).
Для моделирования математики необходимо принять еще один принцип, говорящий о бесконечности множества объектов. Он рассматривался как нелогическая аксиома, близкая по характеру к эмпирическим обобщениям других наук.
Рассел и Уайтхед отметили, что принцип свертки содержит в себе скрытый порочный круг. В дальнейшем было подтверждено, что в некоторых случаях удаление определяемого множества из универсума, пробегаемого переменными типа i + 1, входящими в А, приводит к изменению объема Yi+1. Поэтому они предложили разделить множества на порядки и допускать в определениях лишь кванторы по уже определенным множествам более низких порядков. Такая система называется разветвленной иерархией типов. Она применяется в современной теории сложности и определимости. Как заметил Г.Вейль, верхняя грань множества действительных чисел порядка k может быть порядка k+1. К.Гёдель показал, что для некоторого ординала α совокупность множеств порядка α образует модель аксиомы свертки, а если перевести эту иерархию на язык обычной теории множеств, то на некотором ординальном шаге образуется модель теории множеств с аксиомой выбора и континуум-гипотезой.
Для обхода трудностей, выявившихся в разветвленной иерархии, Рассел предложил аксиому сводимости: для каждого множества порядка η существует равнообъемное ему множество порядка 0. Л.Хвистек и Ф.П.Рамсей показали, что в этом случае можно порядки вообще не использовать. Рамсей пошел еще дальше и заметил, что все известные парадоксы устраняются уже в кумулятивной теории типов, где принадлежности имеют вид ti ∈ Xi+J, j > 0. Кумулятивная теория типов оказалась равнонепротиворечива чистой теории типов.
Линия логицизма была продолжена У.Куайном, который заметил, что слишком часто в теории типов приходится копировать буквально одни и те же определения на разных уровнях (этот недостаток унаследован и современным программированием вместе с концепцией строгой типизации). Он предложил использовать в аксиоме свертки типизированные выражения, а затем стирать типы (бестиповое выражение, которое может быть корректно типизировано, называется стратифицированным). Получившийся вариант аксиомы свертки и аксиома объемности образуют теорию множеств NF. В NF есть, в частности, множество всех множеств, поскольку определяющее его условие x = x, очевидно, стратифицировано; натуральные числа могут определяться, по Фреге, как множества всех равномощных множеств; доказывается аксиома бесконечности, но зато индукция выполнена лишь для стратифицированных свойств. Несмотря на интенсивные и глубокие исследования, выявившие ряд интересных свойств NF, не получено соотношений между стандартными теориями множеств и NF. При малейших изменениях NF становится либо противоречивой, либо достаточно слабой системой. Напр., если позволить менее строгую типизацию, разрешив объектам типа n быть членами множеств типа n + 1 и n + 2, то получается противоречие; если ослабить аксиому объемности, трактуя объекты без элементов как исходные атомы, которые могут быть различны, то уже не выводится аксиома бесконечности и имеется достаточно простая модель такой теории.
Доказано, что любая модель, построенная внутри общепринятой теории множеств ZF, может быть вложена в модель NF, если обе рассмотренные теории непротиворечивы (Н.Н.Непейвода). Т.о., NF плохо подходит для построения конкретных множеств, но может объединять построенные в другой теории конструкции. Это позволяет рассматривать такие объекты, как категория всех категорий. Продолжением логицизма в области другого фундаментального отношения явились λ-исчисление и комбинаторная логика. Их идея – построить все математические понятия, базируясь на операции применения функции к аргументу и на кванторе образования функции λx. Карри показал, что добавление импликации к неограниченному λ-исчислению приводит к противоречию, но λ-исчисление и без логических связок является мощным выразительным средством и инструментом, широко использующимся и в современной логике, и в информатике, и в когнитивной науке, и в философии, и в ИИ. Используются оба его варианта – бестиповое и типизированное. Рассмотрены и системы λ-исчисления с типовой неопределенностью, но для них, в отличие от теории NF, построен ряд моделей.
Л.Хвистек и С.Лесьневский развивали другие логические основания для общей теории.
Теория именования (онтология) имеет следующий исходный принцип:
∀хХ(х ∈ X ⇔ ∃у(у ∈ x & ∀yz(y ∈ x & z ∈ x ⇒ y ∈ z)&∀y(y ∈ x ⇒ y ∈ X))).
Эту аксиому можно интерпретировать следующим образом. Элементами классов могут быть лишь единичные непустые имена и они являются элементами, если именуемые ими сущности входят в класс. Онтология выступает как система-ядро (в терминологии современной информатики), дающая собственные расширения при пополнении новыми понятиями. Мереология – теория, базирующаяся на соотношении «часть–целое». Честь ее создания также принадлежит Лесьневскому.
Громадный потенциал, заключенный в данных концепциях, остается пока практически неиспользуемым, поскольку современные работы в данных областях носят скорее комментаторский характер.
П.Мартин-Леф, соединяя идеи комбинаторной логики и логицизма с интуиционизмом, приложил их для создания теории конструкций, конструктивно описывающей сложные понятия современных языков программирования.
Сама по себе идея типов и порядков имеет громадное общенаучное и общеметодологическое значение. В частности, она может быть использована для классификации уровней знаний и умений человека. Так, знания первого уровня (выражающиеся импликацией ∀x(Ρ1&...&Ρn ⇒ Q) и умения первого уровня (функции из объектов в объекты) соответствуют стереотипному реагированию, уровню компилятора текстов, техника, рабочего-исполнителя. Знания и умения второго уровня (напр., импликации ∀х(∀у(Р ⇒ Q) ⇒ ∀у(Р1 ⇒ Q1)) и операторы из условий в умения соответствуют уровню ремесленника, интерпретатора текстов, рабочего-наладчика либо инженера обычной квалификации и т.д. Лишь считанные единицы в истории человечества могли подниматься до знаний и умений седьмого уровня.
H.H. Непейвода
Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. II, Е – М, с. 431-433.
Литература:
Логицизм (Яновская С.А.). – В кн.: Философская энциклопедия, т. 3. М., 1964;
Whitehead J., Russell В. Principia Mathematica. Oxf., 1910–13;
Chwistek L. Antynomie logiki formalnej. – «Przegland Filozofski», v. 20, 1921;
Ramsey F.P. The foundations of mathematics and other logical essays. N. Y.–L., 1931;
Quine W.v.O. Mathematical Logic. Cambr. (Mass.), 1951;
Lesniewski S. Über die Grundlagen der Ontologie. – Comptes Rendus de Varsoive, v. 23, 1930;
Chwistek L. Neue Grundlagen der Logik und Mathematik. – «Mathematische Zeitschrift», v. 30, 1929, p. 704–724; v. 34, 1932, p. 527–534;
Chwistek L. Granice nauki. Lwow–Warszawa, 1935.