Число (Кузнецов, 2007)

ЧИСЛО — одно из наиболее фундаментальных понятий математики; как характеристика конкретной величины появляется из процедуры счета или измерения в результате применения абстракции отождествления, которая позволяет рассматривать все предметы некого реального множества как одинаковые и в точности соответствующие мысленному эталону единичного объекта.

Понимание природы Ч. зависит от принятых воззрений на природу математического мышления в целом. С точки зрения логицизма Ч. — это специфическая характеристика свойства, а точнее — относящейся к этому свойству области объектов. Ч. в этом плане понимается как предикат второго уровня или предикат от предиката для некоторой области объектов. С формалистской точки зрения (формализм) Ч. — это объект произвольной природы, определенный в своих свойствах системой аксиом арифметики. В интуиционистской философии математики (интуиционизм) Ч. представляет собой необходимую конструкцию сознания, основанную на первичном представлении единицы и операции сложения единиц.

С праксеологической точки зрения Ч. может быть понято как специфическая идеализация, связанная с предметной онтологией. Сама возможность человеческого действия (практики) основана на возможности расчленения окружающего мира на относительно автономные объекты, на реальные «единицы», которые человек может складывать и объединять в различного рода комбинации. Арифметика как математическая теория может быть понята с этой точки зрения как система понятий, отражающая фундаментальные аспекты деятельностной онтологии. В этом смысле арифметика в своих исходных принципах относится к глубинной форме человеческого мышления, а понятие Ч, лежащее в ее основе, должно быть понято как одна из фундаментальных онтологических идеализаций, определяющих первичный синтез представлений опыта.

Эмпирическое истолкование Ч. и простые наблюдения показывают, однако, что само по себе множество реальных объектов, подлежащих счету, еще не задает числа, ибо как таковое оно не содержит в себе ни эталона счета, ни соглашений о процедуре. Прежде чем считать, мы должны установить понятие единицы для данного случая. Но это значит, что арифметические операции, которые мы выполняем применительно к конкретному роду вещей, в действительности относятся не к реальным, а к неким идеальным единицам, которые первичны в отношении всех возможных интерпретаций. Арифметика как теория не возникает на основе процедур счета, а представляет собой идеализированную схему, которая лишь используется в конкретных процедурах счета, получая в них конкретное содержательное наполнение.

Устойчивость, непреложность и аподиктическая очевидность арифметических утверждений также говорит о том, что арифметика в своем генезисе — не обобщение практики счета, а идеальная схема, предшествующая всякому счету, принципы которой связаны с принципами познавательной деятельности вообще. Априористская трактовка понятия Ч. и арифметики как теории в этом смысле, несомненно, ближе к истине. Основная трудность априоризма состоит в том, чтобы соотнести понятие Ч. с фундаментальными онтологическими представлениями, составляющими основу числа в категориальной структуре сознания. Кант полагал, что этой основой является априорное представление времени. В настоящее время кантовская концепция арифметики, порожденная на основе понятия времени, представляется искусственной и не имеющей какого-либо реального оправдания. Э. Гуссерль, несомненно, ближе подходит к пониманию истинной природы Ч., связывая простейшие арифметические представления с априорными представлениями идеализированной предметности. Здесь, однако, появляется проблема обоснования генезиса самой этой предметности, которую трудно решить в рамках абстрактного феноменологического подхода.

Развитие понятия Ч. как понятия собственно математического исторически идет по пути формального логического обобщения безотносительно к возможности эмпирической или онтологической интерпретации этих обобщений. Уже введение отрицательных Ч. отрывает арифметику от очевидных эмпирических интерпретаций. Мнимые и иррациональные Ч. не могут быть истолкованы иначе как просто логические конструкции, важные с точки зрения определенного рода формальных преобразований, и ясно, что они не могут бьггь поставлены рядом с натуральными Ч. в плане своей онтологической значимости. Отсюда следует, в частности, что обоснование арифметики как математической теории не определяется однозначно природой ее первичных идеализаций.

Литература:

Аристотель. Метафизика. Кн. XIII;

Frege G. Die GrundlagenderArithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchungen tiber den BegriffderZahl, Breslau, 1884;

Гуссерль Э. Логические исследования. Ч. 1. Пролегомены к чистой логике. СПб., 1909.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 675-676.