Теория в логике

ТЕОРИЯ В ЛОГИКЕ представляет собой логически связную систему предложений. В качестве логической связи используются процедуры дедукции, формализующие отношение выводимости. В зависимости от степени проясненности (выявленности) дедуктивных связей различают несколько типов теорий.

К первому типу относятся содержательные теории. В их составе дедукция используется лишь для связи отдельных положений. При этом исходные утверждения в рассуждениях представляют собой некоторые допущения, называемые посылками. Посылки не обязаны быть (и не всегда бывают) истинными, а потому любое предложение, которое дедуцируется с их использованием, считается условно истинным: заключение истинно при условии, что посылки являются истинными. Примером содержательной теории является школьная арифметака.

Другой тип — это т. н. формализованные теории. К их числу относятся теории, содержание которых взаимосвязано и дедуктивно выводится из некоторых первоначально принятых исходных утверждений, называемых аксиомами. Так как аксиомы рассматриваются как истинные высказывания о некоторой предметной области, все другие положения, дедуцируемые из них, тоже считаются истинными относительно этой области. Примерами таких теорий являются: небесная механика Ньютона, специальная и общая теории относительности Эйнштейна, квантовая механика, геометрия Евклида и многие другие.

Формализованные теории — это уже хорошо организованные теории. Однако их недостатком является то обстоятельство, что в них специально не выделяются средства дедукции, а потому многие дедуктивные шаги осуществляются на интуитивном уровне, что приводит, во-первых, к пропуску значительного числа шагов в рассуждениях, а во-вторых, к недостаточно четкой фиксации всех аксиом, необходимых для получения других положений. Именно такая ситуация имела место, напр., с геометрией, построенной Евклидом. С этой точки зрения более совершенны формальные теории, в которых оформляются (структурируются) не только само знание, но и средства его получения. К таким теориям относятся очень многие математические теории — множеств теория, формальная арифметика и другие. Среди формальных особо можно выделить те теории, содержание которых фиксируется на специально созданном символическом языке, а все допустимые преобразования (в т. ч. и рассуждения) строятся как преобразования одних последовательностей символов в другие их последовательности. Такого рода теории называются исчислениями.

Только относительно формальных теорий можно решать метатеоретические проблемы: устанавливать их непротиворечивость, полноту, выявлять вопрос о разрешимости, обосновывать наличие различных отношений между ними и т. д. Поэтому в науке формулируется формальное понятие теории, с которым удобно теоретически и практически работать. При этом предварительно фиксируется язык, на котором формулируется теория, и определяется понятие выводимости. В качестве языка L теории Т берется обычно та или иная разновидность языка логики предикатов, содержащего словарь логических и нелогических терминов. В словарь логических терминов входят знаки логических констант, словарь нелогических терминов состоит из списка индивидных, предикатных и функциональных констант (если таковые имеются). Понятие выводимости в этом случае определяется средствами исчисления предикатов. Итак, пусть Т будет некоторым множеством предложений, сформулированных на языке L, пусть А будет предложением языка L, тогда:

теория (Т) = Df ∀A (Т |- А ⇔ А ε Т),

т. е. множество предложений Т считается теорией при условии, что каждое предложение входит в него тогда и только тогда, когда оно выводимо из данной совокупности. Более кратко это выражается следующей словесной формулой: «теория — это множество предложений, замкнутое относительно отношения выводимости». Данное формальное понятие, хотя и является весьма абстрактным и общим, позволяет успешно решать целый комплекс проблем, возникающих при метатеоретическом исследовании теорий. Если во множестве предложений Т существует рекурсивное подмножество Δ, т. е. Δ может быть задано некоторой порождающей процедурой (алгоритмом), таким что

∀ А (Δ |— А ⇔ А ε Т),

то говорят, что теория Т аксиоматизируема. В качестве аксиом в этом случае выступают предложения, входящие в множество Δ. Если множество Δ конечно, то говорят, что теория Т конечно аксиоматизируема.

Если список нелогических терминов не содержит конкретных имен, предметных функторов и предикаторов естественного языка, то мы имеем дело с чистой логической теорией, напр. стандартным исчислением предикатов 1-го порядка. Если же список нелогических терминов содержит какие-либо из указанных выражений естественного языка, то мы имеем дело с прикладной логической теорией. Если, кроме того, в составе теории присутствуют аксиомы, задающие смыслы этих выражений, то речь идет о нелогических теориях. Среди теорий различают теории двух типов — дедуктивные и эмпирические. К дедуктивным относятся логические и математические теории. Эмпирические теории — это теории разнообразных эмпирических наук: физики, химии, биологии, геологии, истории, социологии, психологии и т. д. Логические и математические теории выполняют в научном познании инструментальную роль, т. е. входят в состав других теорий в качестве средств, позволяющих осуществлять индуктивные и дедуктивные процедуры вывода. Логические теории входят в состав любой другой теории — будет ли она дедуктивной или эмпирической, а потому каждая из последних может рассматриваться как прикладная логика. Математические теории входят в состав математизированных эмпирических теорий, а потому любая математизированная эмпирическая теория может трактоваться как прикладная математика. С каждой непротиворечивой теорией Т соотносится объект (возможная реализация) вида:

<U,P1, P2,...,Pn...,F1,F2,..., Fk, ...>, 

где U — множество объектов, а Р1, Р2, ..., Рn, ..., F2, ..., Fk,... — их свойства, отношения и функциональные зависимости, заданные на U. Для логических и математических теорий U — это множество абстрактных и идеальных объектов типа чисел или геометрических фигур; для эмпирических теорий U — это множество реальных предметов. На этот объект осуществляется интерпретация теории. Если каждое предложение из Т при интерпретации принимает значение «истина», то возможная реализация называется моделью Т. Любая теория выполняет различные познавательные функции — систематизации, объяснения, предсказания и постсказания. Под систематизацией в общем случае имеют в виду установление некоторых логических зависимостей (взаимосвязей) между фактами, т. е. введение некоторой структуры в множество фактов, описываемых в теории. Мир в этом случае предстает перед нами не как некоторая беспорядочная груда фактов, а как некоторое структурированное многообразие. Различают два способа систематизации: дедуктивную и индуктивную. Пусть Т будет чистой эмпирической теорией, сформулированной в языке L, пусть далее h и e будут нетавтологичными факгуальными предложениями теории, тогда:

Т осуществляет дедуктивную систематизацию Ξ Df ∃h, е такие, что:

1) неверно, что е |- h,

2) T ∪{е} h.

В случае, когда Т — конечно аксиоматизированная теория, условие 2 можно заменить условием 2': Т & е |— h.

При тех же условиях понятие индуктивной систематизации определяется следующим образом:

Т осуществляет индуктивную систематизацию Ξ Df ∃h, е такие, что:

1) неверно, что е |- h,

2) неверно, что Т ∪ {е} |- А,

3) Т ∪ {е} |- А,

где «|-» — знак отношения индуктивного следования, которое обычно трактуется либо в смысле понятия позитивной релевантности, либо высокой вероятности. Чрезвычайно важными функциями теоретического знания являются функции объяснения, предсказания и постсказания. Общая схема рассуждений во всех этих случаях одна и та же, а именно: теория объясняет некоторый факт природы (предсказывает его или постсказывает), если и только если соответствующее фактуальное предложение может быть подведено под законы науки, т. е. может быть дедуцировано из утверждений теории. Иначе говоря,

Т объясняет (предсказывает, постсказывает) h =Df Т I- h, где Т — прикладная эмпирическая теория. Различие между указанными тремя функциями состоит лишь в том, что при объяснении h — это эмпирически данный нам факт, в случае предсказания h — факт, который еще только следует установить, а в постсказании h — это факт, который имел место в прошлом.

В. А. Бочаров

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. IV, с. 44-46.