Аксиоматический метод

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) — аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введённые понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для аксиоматического метода, применяются во многих науках, однако главная область его приложения — математика, логика, а также некоторые разделы физики.

Идея аксиоматического метода впервые была высказана в связи с построением геометрии в Древней Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для современной стадии развития аксиоматического метода характерна выдвинутая Гильбертом концепция формального аксиоматического метода, которая ставит задачу точного описания логических средств вывода теорем из аксиом. Основная идея Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при некоторой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются спец. правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) — это некоторая последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержательными средствами метатеории. Основные требования, предъявляемые к аксиоматическим формальным системам,— непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики, в целом оказалась невыполнимой. В 1931 году Гедель доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (например, арифметики натуральных чисел), что свидетельствовало об ограниченности аксиоматического метода. Основные принципы аксиоматического метода были подвергнуты критике сторонниками интуиционизма и конструктивного направления. См. также Формализм в математике и логике, Теория.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

Литература:

Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (лит.); Садовский В. Н., Аксиоматический метод построения науч. знания, в кн.: Филос. вопросы совр. формальной логики, М., 1962; Столл Р., Множества. Логика. Аксиоматические теории, пер. с англ., М., 1968; Новиков П. С., Элементы математич. логики, M., 19732.