Существование математическое

СУЩЕСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ — характеристика математического объекта, как приемлемого в данной теории. Если понимать математическую теорию как формальную структуру, то основным требованием для ее объектов, определяющим их приемлемость, является непротиворечивость: мы можем считать математический объект существующим (приемлемым), если имеются основания считать, что его использование в теории не может быть причиной появления в ней противоречащих выводов. В этом плане является справедливым тезис А. Пуанкаре, согласно которому слово «существовать» в математике может означать только свободу от противоречий. Понятие С.м. как непротиворечивости снимает многие проблемы методологического и философского плана, связанные, к примеру, с пониманием мнимых чисел, неевклидовых геометрий, бесконечных множеств и т.п., т.е. объектов, не имеющих прямой интерпретации в опыте. Понятие С.м. как непротиворечивости лежит в основе формалистской программы обоснования математики, предложенной Д. Гильбертом.

Фактическое развитие математики определяется также требованием практической целесообразности, которое объясняет предпочтение одних непротиворечивых структур перед другими в определенное время, выдвижение на первый план одних, а не других объектов как значимых и т.д. С.м. определено также и генетически, поскольку всякий новый объект должен найти свое определение в рамках существующих, доказать свою органическую включенность в систему объектов, существование которых признано. Реальное развитие математического знания — отнюдь не свободное конструирование произвольных непротиворечивых структур, а развертывание реальных возможностей, которые обусловлены, с одной стороны, традиционной системой понятий, лежащих в их основе, а с другой стороны — запросами конкретного времени.

Понятие С.м. в философии математики последнего столетия было существенно уточнено в процессе обсуждения проблемы обоснования математики и трактовалось в зависимости от понимания природы математической теории с точки зрения той или другой концепции обоснования. В логицистской концепции матемашки математический объект приемлем (существует) в том и только том случае, если он допускает определение в терминах логики. Интуиционистский подход к пониманию математического знания основывался на идее конструктивности объекта: математический объект приемлем (существует), если он представим в качестве интуитивно ясной конструкции из исходных (арифметических) объектов. Объекты, введенные на основе чистых доказательств существования, с этой точки зрения неприемлемы (не существуют) даже в том случае, если заведомо известно, что они удовлетворяют требованию непротиворечивости. Сторонники логицистского и интуиционистского понимания математики не отрицают требования непротиворечивости как требования необходимого для признания математического объекта, но они не считают это требование достаточным, отвечающим природе математического знания. Близкого мнения придерживались французские математики Э. Борель и А. Лебег. Они стремились найти некоторую среднюю линию между крайностями формализма и интуиционизма и ограничить использование математических абстракций разумными содержательными критериями. По мнению Бореля, строгое математическое рассуждение должно быть ограничено признанием конечных множеств и только тех бесконечных, которые допускают индивидуальную характеристику своих элементов. В России эта последняя позиция была представлена Н.Н. Лузиным, считавшим, что признание всего множества непротиворечивых объектов как приемлемых в математике неизбежно засоряет ее чисто словесными и бесполезными конструкциями. Дискуссия о смысле С.м., продолжавшаяся в философской и методологической литературе на протяжении всего XX в., выявила контуры проблемы, но она, как представляется, пока не привела к ее полному теоретически обоснованному решению.

В настоящее время в философии математики все большее влияние приобретают реалистические подходы (реализм) к проблеме С.м., которые пытаются связать это понятие с первичной онтологией математики или с рядом аспектов опыта, лежащих в основе исходных математических идеализаций. Мы имеем здесь дело с возрождением на новой основе реалистических и эмпирических концепций С.м.

Литература:

Пуанкаре А. Математика и логика/Новые идеи в математике. Сб. 10. Пг., 1915;

Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. М., 1934;

Молодший В.Н.Эффективизм в математике. М., 1938;

Хао Ван. Процесс и существование в математике / Математическая логика и ее применение. М., 1965.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 563-564.