Паранепротиворечивая логика

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛОГИКА (греч. … — возле, вне) — класс логических исчислений, в которых логический принцип «из противоречия следует все что угодно», не имеет места. Термин «П.л.» введен в 1976 г. перуанским философом Ф. Мироквисада.

Дадим строгое определение П.л. Пусть |- есть отношение логического следования. Назовем его чрезмерным, если оно удовлетворяет условию, что для любых формул А и В, из А и не-А следует В (символически: ⎨А, ¬ А⎬|- В). Классическая логика, интуиционистская логика, многозначные логики Лукасевича и большинство других стандартных логик являются чрезмерными. Логика называется П.л. тогда и только тогда, когда ее отношение логического следования не является чрезмерным.

Наибольшим стимулом для появления Пл. была потребность в разработке противоречивых, но нетривиальных теорий. Теория называется тривиальной, если множество ее теорем совпадает с множеством ее формул; в противном случае теория называется нетривиальной. В стандартных системах логики понятия противоречивости и тривиальности не различаются, т.е. противоречие в теории ведет к ее тривиальности. Отсюда еще одно определение П.л., несколько менее общее, чем предыдущее: логика называется П.л., если она может быть положена в основу противоречивых, но не тривиальных теорий. Впервые в литературе такое определение П.л. появилось в работах польского логика С. Яськовского (1948) и независимо от него было дано бразильским логиком Н.С.А. да Коста (1963). Иногда используется еще один критерий паранепротиворечивости (критерий Яськовского) для логических исчислений с правилом вывода modus ponens: в таких системах не должен иметь места закон Дунса Скотта А ⊃ ( ¬ A ⊃ В). Понятно, что по правилу modus ponens из противоречивых посылок получаем произвольную формулу В. Таким образом, П.л. позволяет «локализовать» действие противоречия в том смысле, что наличие в теории противоречия не ведет последнюю к разрушению. Построение П.л. является реализацией тезиса о неуниверсальности закона непротиворечия.

Наличие противоречивых, но нетривиальных теорий и признание того, что существуют истинные противоречия (концепция диалетизма), являются философской основой для изучения паранепротиворечивости. Примерами таких теорий служат наивная теория множеств с парадоксом Рассела, классическая теория истинности, порождающая семантические парадоксы типа «Лжец». Примеры противоречивых, но нетривиальных теорий можно найти в истории науки: аристотелевская теория движения, первоначальное исчисление бесконечно малых, теория атома Бора и т.д. Интересные примеры имеются в юриспруденции, в частности, различные билли о правах и тексты конституций. Противоречивой является теология (парадокс всемогущества). Неоспоримым фактом также выступает то, что большинство людей, не осознавая этого, имеют противоречивые убеждения (верования). Вообще, по-видимому, имеет веские основания тезис, что любая достаточно сложная и интересная философия будет противоречивой. На возможность построения логик без закона непротиворечия впервые одновременно (1910) и независимо друг от друга указали русский логик Н.А. Васильев и польский логик Ян Лукасевич. Первый предложил модифицировать аристотелевскую силлогистику, в которой теперь появляется новая форма: S есть Р и не-Р; Лукасевич же подверг серьезной критике все формулировки закона непротиворечия у Аристотеля.

Существуют различные способы опровержения и ограничения принципа «из противоречия следует все что угодно». Отсюда и большое разнообразие самих П.л., которых на самом деле бесконечно много. Примером П.л. являются релевантные логики.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 405-406.