Парадоксы в математике

ПАРАДОКСЫ В МАТЕМАТИКЕ - ситуация, когда в рамках той или иной математической теории доказываются два взаимно исключающих друг друга утверждения, причем каждое из этих утверждений выведено законными с точки зрения данной теории методами. П. в м., как правило, свидетельствует о глубоких недостатках математической теории. И неудивительно, что обнаружение парадоксов часто ведет к попыткам существенной перестройки всей теории. Наибольшую известность получили парадоксы «наивной» теории множеств и классической математической теории вероятностей. В обеих теориях обнаружение парадоксов стимулировало дальнейшие исследования и привело к появлению соответствующих аксиоматических теорий.

П. в м. связаны, как правило, с необычными способами образования понятий. При этом, однако, эта необычность удивительным образом оказывается в рамках допустимого в данной теории. И аксиоматизация теории направлена на то, чтобы образование такого рода понятий перестало быть допустимым. Рассмотрим некоторые примеры наиболее известных парадоксов.

1. Парадокс Кантора. Кантор рассматривает множество М всех возможных множеств, а также множество всех его подмножеств Р(М). Ясно, что множество Р(М) включено в М, поэтому мощность множества М по крайней мере не меньше, чем мощность множества Р(М) (утверждение 1). С другой стороны, согласно известной теореме Кантора, мощность множества всегда меньше, чем мощность множества всех его подмножеств. Другими словами, мощность множества М, согласно этой теореме, строго меньше, чем мощность множества Р(М) (утверждение 2). Очевидно, что утверждение 1 и утверждение 2 взаимно исключают друг друга. Следовательно, пользуясь законными с точки зрения «наивной» теории множеств Кантора средствами, мы приходим к парадоксу. Его можно интерпретировать как доказательство несуществования множества всех множеств М. Однако существуют аксиоматические системы теории множеств, например, система Куайна, в которой можно доказать существование множества М. Но в данной системе парадокс Кантора не выводим, ибо используемую при его формулировке теорему Кантора о мощности удается доказать лишь в некоторой специальной форме, недостаточной для получения парадокса. Аналогичный парадокс строится и для множества всех ординальных чисел.

2. Парадокс Рассела—Цермело. Этот парадокс вызывал значительно бьлыпую тревогу, чем парадокс Кантора, ибо связан не с каким-либо специальным вопросом теории множеств, а с самим канторовским пониманием множества. Рассматривается свойство множеств, заключающееся в том, что оно выполняется для произвольного множества X тогда и только тогда, когда X не является элементом самого себя. Ясно, что для подавляющего большинства множеств, таких, например, как множества всех натуральных или всех действительных чисел, данное свойство выполняется. Поэтому множества, обладающие таким свойством, получили названия нормальных. Рассмотрим теперь множество R всех нормальных множеств. Очевидно, возможны два случая: R либо является элементом самого себя, либо нет. Из определения множества R получаем, что в первом случае R не является элементом самого себя, а во втором — является. Таким образом, в обоих случаях мы приходим к двум исключающим друг друга утверждениям и, следовательно, к парадоксу. Как и в случае с парадоксом Кантора, парадокс Рассела можно интерпретировать как утверждение, что множества R не существует. Однако для такой интерпретации в рамках «наивной» теории множеств нет достаточных оснований, поскольку в ней считается естественным, что всякое точно описанное свойство объектов определяет множество R тех объектов, которые удовлетворяют нашему свойству. Парадокс Рассела-Цермело как раз призывает осторожно относиться к этому и подобным естественным представлениям о множествах. В связи с этим возникает точка зрения, что либо некоторые свойства не являются точно описанными, либо имеются точно описанные свойства, которые не определяют множеств. Следовательно, и те свойства, которые широко употребляются в теории множеств и с которыми пока еще не связаны парадоксы, могут в будущем также привести к парадоксам. Таким образом, даже если мы сможем построить аксиоматику теории множеств, в рамках которой мы избегаем всех до сих пор известных парадоксов (см. Теория типов), нет никакой гарантии того, что эта теория не содержит каких-либо других парадоксов. Тем не менее в настоящее время существуют признаваемые достаточно надежными различные пути избегания П. в м., хотя, разумеется, их нельзя признать совершенно надежными. Наиболее известным из таких «надежных» путей является аксиоматическая система Цермело-Френкеля, которая, по-видимому, наиболее полно и адекватно отражает свободную от парадоксов теоретико-множественную математику.

В то же время в современной философии математики существует точка зрения, впервые выдвинутая Л. Витгенштейном, что задача предотвращения всех возможных, пока еще не выявленных парадоксов вряд ли имеет смысл, ибо противоречивость не есть свойство, присущее математической теории самой по себе. Противоречивость теории, считает Витгенштейн, определяется нашим употреблением системы правил, принятой в данной теории, но все возможные употребления в принципе невозможно предвидеть заранее. Проблема элиминации противоречий возникает, согласно Витгенштейну, лишь тогда, когда они появляются, вернее, создаются нашим употреблением правил. Пока они не созданы, они не существуют.

Литература:

Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984; Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М., 1981; Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М., 1990.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 402-404.

Понятие:

Яндекс.Метрика