Номинализм математический

НОМИНАЛИЗМ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ - направление в философии математики, подчеркивающее логическую и онтологическую первичность индивидуальных объектов и их свойств перед абстрактными понятиями и оформившееся в работах В. Куайна и Н. Гудмена. Номиналисты считают, что такие понятия, как класс и множество, получают строгий математический смысл только в тех пределах, в которых они могут быть определены на основе понятия элемента и операций с элементами. Предыстория Н.м. восходит к идеям польского логика С. Лесневского, который для устранения парадоксов теории множеств предлагал изменить само понятие множества, сделав его более ясным и близким к опыту. В традиционном понимании множества элемент множества не совпадает с его частью. Так называемое мереологиче- ское понимание множества, предложенное Лесневским, стирает различие между элементом и частью в том смысле, что любая часть множества становится его элементом и само множество считается элементом класса множеств, состоящим из одного элемента, т.е. из самого этого множества. Мереологическое понимание множества, мало применимое к собственно математическим, идеализированным объектам, находит благоприятную почву в сфере метатеории, ибо о знаках, формулах и сочетаниях формул мы должны говорить преимущественно в категориях части и целого, но не в категориях элемента и множества в их традиционном (канторовском) понимании. Последовательное проведение этой идеи встречается, однако, с трудностями идентификации, различения и сравнения по величине различных множеств.

В современном Н.м. разработана также теория номиналистического синтаксиса, которая состоит в рассмотрении математических знаков как исходных предметов математического рассуждения, вне какой-либо их смысловой интерпретации. Эта идея, выдвинутая Гильбертом, развивается сторонниками Н.м. в плане выработки более строгих ограничений на использование в формальном языке таких понятий, как «формула», «подстановка», «теорема» и пр. Номиналистическое определение понятия формулы, к примеру, должно быть дано без употребления понятия множества в его традиционном смысле. Определение, удовлетворяющее этому требованию, в данном случае достижимо: оно может быть осуществлено посредством обычного индуктивного задания понятия формулы. Аналогичные интерпретации в определенной мере оказываются возможными и для других логических и метатеоретических понятий. В этом плане Н.м. является некоторой предельно жесткой версией финитизма применительно к формализованной математической теории.

С современной точки зрения является достаточно очевидным, что исключение интуитивного понятия множества из математических рассуждений вместе с соблюдением строгого финитизма предопределяет узость оперативных возможностей Н.м. даже в сфере метатеоретических рассуждений, где такого рода ограничения так или иначе должны быть приняты. Тем не менее номиналистическая математика как часть математики с ограниченными логическими средствами и специфическим пониманием множества оказывается полезной для исследования ряда проблем обоснования математики, в частности для анализа финитных метаязыковых структур.

Литература:

Котарбинский Т. Избр. произведения. М., 1963; Goodman N., Quine W.V. Steps toward a constructive nominalism // Journal of simbolic logic. 1947. № 12; Грязнов Б.С. О номиналистическом истолковании проблемы существования и абстракции в современной математике / Методологические проблемы современной науки. М., 1964; Яновская С.А. Номинализм математический / Философская энциклопедия. Т. 3; Ледников Е.Е. Критический анализ номиналистической и платонистической тенденций в современной логике. Киев, 1973.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 362-363.

Яндекс.Метрика