Метатеория (Кузнецов, 2007)

МЕТАТЕОРИЯ - термин, введенный Д. Гильбертом для обозначения математической теории, которая предназначена для исследования другой математической теории в плане ее общих логических характеристик, таких, как полнота, независимость и непротиворечивость аксиом, разрешимость и т.п. В соответствии с гильбертовской (формалистской) программой обоснования математики, теории, не допускающие логической редукции к другим теориям, должны быть обоснованы в своей непротиворечивости непосредственно, а именно на основе некоторого метатеоретического рассуждения. Само собой разумеется, что система этих рассуждений не должна вызывать никаких сомнений в смысле своей надежности и совместности используемых допущений. Отсюда проистекает ряд ограничений на метатеоретическое исследование. М., по замыслу Гильберта, должна быть финитной (см. Финитизм) в смысле отказа от использования бесконечных множеств, она должна быть конструктивной (см. Конструктивизм) в смысле недопущения чистых доказательств существования и, наконец, она должна быть содержательной, относящейся исключительно к исследуемой теории как к определенной системе фактов и безусловно истинной в отношении этих фактов. Проблема обоснования математики в ее гильбертовской трактовке сводится к доказательству в М. того положения, что использование средств, формализованных в теории, не может привести к выводу формул, представляющих собой логическое противоречие. Современные исследования в основаниях математики идут по пути уточнения и экспликации понятия М., заданного Гильбертом. Одно из таких уточнений основано на открытии того факта (Гедель, 1931), что каждое содержательное метатеоретическое высказывание для теорий, содержащих арифметику, может быть выражено в понятиях арифметики и превращено в истинное утверждение самой теории. В плане этих рассуждений мы можем отождествить истинную М. с системой метатеоре- тических утверждений, допускающих ариф- метизацию. Однако определенная таким образом М. оказывается недостаточной для обоснования непротиворечивости арифметики и всех более сложных теорий, из чего, по мнению многих, следует полный провал гильбертовской программы обоснования математики в целом. Возможность расширения средств метатеории за пределы указанной экспликации остается спорной.

В последние десятилетия анализ М. вышел за рамки проблемы обоснования математики и превратился в одно из средств исследования структуры сложных математических теорий. В этом плане возникли частные М., такие, какметалогика, метатеория алгебры и т.п. Поскольку в такого рода метатеоретических исследованиях проблема непротиворечивости уже не является главной, то здесь, как правило, допускается использование всех средств убедительного математического рассуждения, принятых в обычной содержательной математической теории.

Философская проблема, связанная с использованием М., состоит в обосновании достоверности метатеоретических рассуждений для некоторой теории, если эти рассуждения используют средства более богатые, чем те, которые используются в самой теории. Практика научного мышления говорит о приемлемости таких рассуждений: мы, к примеру, утверждаем нечто о грамматике, используя эту грамматику, обосновываем надежность логических норм, используя и, следовательно, предполагая надежными сами эти нормы, и т.п. Проблема состоит, очевидно, в определении границ, за которыми такого рода саморефлексивное мышление перестает быть надежным.

Литература:

Гильберт Д. О бесконечном / Основания геометрии. М., 1948;

Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. М., 1981;

Нагель Э., Ньюмен Д. Теоремы Геделя. М., 1970;

Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М., 1972;

Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. М., 1967.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 318-319.