Металогика (Кузнецов, 2007)
МЕТАЛОГИКА — раздел современной логики, в котором исследуются способы построения логических теорий, свойства, присущие им, а также отношения, существующие между ними. Зачатки проблематики М. можно обнаружить уже в «Аналитиках» Аристотеля, пытавшегося обосновать синтаксическими методами полноту своей ассерторической силлогистики, однако активно М. стала развиваться лишь в современной логике.
Обычно под логикой понимается множество предложений, связанных между собой отношением логического следования. Поэтому первый вопрос, который здесь встает, есть вопрос о формализации (аксиоматизации) этого отношения, т.е. о возможности построения логической теории, в которой это отношение задавалось бы отношением выводимости. В настоящее время для многих логических теорий имеются их дедуктивные представления. Тем не менее для целого ряда логик вопрос об их формализации остается открытым.
В М. логические теории проверяются на их семантическую и синтаксическую непро-тиворечивость. Логическая теория считается семантически непротиворечивой, если каждое доказуемое в ней утверждение является ее законом. С другой стороны, она считается синтаксически непротиворечивой, если в ней нельзя доказать некоторое утверждение А и его отрицание ¬ А. Противоречивые теории не имеют моделей, а потому не представляют никакого научного интереса.
Другой важной парой понятий М. являются понятия синтаксической и семантической полноты теорий. Логическая теория считается семантически полной, если каждое предложение, являющееся ее законом, доказуемо в ней. С другой стороны, теория синтаксически полна, если никакое предложение, сформулированное на ее языке и недоказуемое в ней, не может быть включено в ее состав без противоречия. Синтаксически и семантически полной теорией является классическое исчисление высказываний. Семантически полно классическое исчисление предикатов первого порядка, однако оно не обладает свойством синтаксической полноты. Исчисление же предикатов второго порядка является не только синтаксически неполной системой, но и семантически неполно.
Важным свойством логических теорий является свойство их разрешимости. Теория считается разрешимой, если существует некоторая конечная алгоритмическая процедура, которая дает ответ на вопрос, является ли некоторое утверждение теоремой теории или нет. Свойством разрешимости обладает классическое исчисление высказываний. Однако, как доказал А. Чёрч, уже классическое первопорядковое исчисление предикатов не является разрешимой теорией.
Еще одним часто проверяемым свойством логических теорий является свойство независимости друг от друга их дедуктивных принципов. Значение этих исследований в М. можно уяснить из аналогии с проверкой независимости пятого постулата в геометрии Евклида. Как известно, эти исследования привели к созданию неевклидовых геометрий. Иначе говоря, дедуктивный принцип, для которого доказана его независимость, может быть заменен новым дедуктивным принципом, что приводит к созданию новой логической теории.
К проблемам М. относится и вопрос рассмотрения различных отношений, существующих между логическими теориями. В настоящее время выделено и исследовано огромное количество таких отношений. Наиболее важными являются отношения дедуктивной эквивалентности двух теорий (например, различные формулировки классического исчисления высказываний, задаваемые различным набором аксиом, являются эквивалентными теориями), отношение некреативного расширения (классическое первопорядковое исчисление предикатов является некреативным расширением классического исчисления высказываний), отношение дефинициального расширения и многие другие. Чрезвычайно важным способом сравнения теорий, применимым даже в том случае, когда теории построены не только в разных языках, но и с использованием различных логик, является понятие переводимости одной теории в другую. На основе последнего понятия вводятся различные отношения между теориями, в частности понятие погружаемости одной теории в другую. В настоящее время доказано большое число метатеорем, обосновывающих погружаемость одной теории в другие. В частности, известен результат о погружаемости классического исчисления высказываний в интуиционистскую логику.
Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 317-318.