Логика предикатов (Кузнецов, 2007)
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ - раздел символической логики, изучающий рассуждения и другие языковые контексты с учетом внутренней структуры входящих в них простых высказываний, при этом выражения языка трактуются функционально, т.е. как знаки некоторых функций или же знаки аргументов этих функций.
Важнейшая особенность Л.п. состоит в том, что так называемые общие имена, знаки свойств и знаки отношений рассматриваются как принадлежащие одной категории — категории предикаторов, репрезентирующих функции, аргументами которых являются объекты универсума рассмотрения, а значениями — истинностные оценки (в классической логике — это «истина» и «ложь»). Предикаторы различаются своей местностью в зависимости от числа аргументов у репрезентируемых ими функций. Множество тех объектов (или n-ок объектов) универсума, которым одноместная (многоместная) предметно-истинностная функция сопоставляет значение «истина», называется областью истинности соответствующего предикатора.
Другой отличительной чертой Л.п. является использование особого типа логических символов — кванторов и связываемых ими (квантифицируемых) переменных для воспроизведения логических форм множественных высказываний. Квантифицируемые переменные «пробегают» по множеству объектов рассмотрения, а роль квантора состоит в указании на ту часть объектов, для которых справедливо содержащееся в высказывании утверждение. Наиболее употребимы в логике квантор общности ∀ («всякий», «каждый», «любой», «произвольный») и квантор существования ∃ («существует», «найдется», «имеется», «некоторый»).
Л.п. как раздел символической логики, включает в себя логические теории разных типов, отличающиеся как выразительными возможностями языков, в которых они формулируются, так и классами выделяемых в них логических законов.
В зависимости от типа сущностей, составляющих допустимые области пробега квантифицируемых переменных, различают Л.п. первого порядка и Л.п. высших порядков. В первопорядковой Л.п. имеется лишь один тип квантифицируемых переменных — предметные (индивидные) переменные, возможными значениями которых являются индивиды (структура множественных высказываний воспроизводится здесь посредством формул вида ∀ x A — «Для всякого индивида х верно, что А», ∃ х А — «Существует индивид х, такой что А»), В Л.п. второго порядка дополнительно вводятся переменные, пробегающие по признакам индивидов (эти переменные тоже разрешается связывать кванторами, получая выражения типа ∀ Р А — «Для всякого свойства Р верно, что А», ∃ R A — «Существует отношение R, такое что А»); в Л .п. третьего порядка разрешается квантификация по признакам признаков индивидов и т.д.
Выделяют также односортные и многосортные системы Л.п.: в односортной Л.п. все переменные, принадлежащие к одному и тому же типу, имеют одинаковую область пробега; в многосортной Л. п. с каждой переменной связывается собственное множество ее возможных значений.
Л.п. включает как классические, так и неклассические логические теории. В основе классической Л. п. лежат общие для всех классических систем принципы — двузначности, экстенсиональности; к ним также иногда относят идущую от Аристотеля трактовку истины как соответствия утверждений действительности. Кроме того, в классической Л.п. принимаются специфические именно для кванторной теории предпосылки экзистенциального характера — допущение о существовании объектов в предметной области и существовании денотатов у единичных терминов. В неклассической Л.п. в той или иной форме происходит пересмотр указанных принципов. Например, в свободной логике отказываются от обязательного существования индивидов в области интерпретации, а также допускают пустоту единичных терминов.
Язык классической Л.п. первого порядка задается следующим образом. В качестве логических символов вводится некоторая функционально полная система пропозициональных связок (см. Логика высказываний) и кванторы. В алфавите содержится также бесконечный список предметных (индивидных) переменных. Среди нелогических символов обязательно наличие непустого множества предикаторных констант — аналога предикаторов естественного языка. Кроме того, в алфавит могут быть введены нелогические символы других типов: предметные константы — аналоги собственных имен естественного языка, а также предметно-функциональные константы различной местности — аналоги предметных функторов (например, «+», «возраст», «расстояние от... до ...»). Техническими символами алфавита являются левая и правая скобки и запятая. В Л.n. имеется два типа правильно построенных выражений — термы (аналоги любых имен) и формулы (аналоги предложений).
Семантическое построение классической Л.п. может осуществляться различными способами. Наиболее известны объектная и подстановочная семантики Л.п.
Суть объектной семантики состоит в выборе некоторой непустой предметной области U (универсума рассмотрения) и интерпретирующей функции I, сопоставляющей с нелогическими символами языка некие сущности (индивиды, предметно-истинностные и предметные функции), релятивизированные относительно U. Пару <U,I> называют моделью или возможной реализацией. Далее задаются правила приписывания значений термам и формулам в модели <U,I>. При этом формула ∀ x A истинна в том случае, когда А оказывается истинной, какой бы объект из U мы ни приписали в качестве значения переменной х (сохранив при этом значения остальных переменных), а ∃ х А истинна, если в универсуме найдется такой объект, что при сопоставлении его в качестве значения переменной х формула А оказывается истинной. Законами Л.п. объявляются формулы, истинные в каждой модели <U,I> (их называют универсально общезначимыми формулами).
Смысл подстановочной семантики состоит в формулировке таких критериев истинности и ложности предложений языка, которые не предполагают соотнесения последних с внеязыковой действительностью, а опираются только на информацию о значениях элементарных формул. Здесь мы имеем дело не с обычной трактовкой истины как соответствия предложений действительности, а с тем, что иногда называют «истинностью в теории», где теория понимается как дедуктивно замкнутое множество предложений языка. Предложение вида ∀ x A (∃ х А) объявляется истинным в теории, если соответствующее бескванторное утверждение справедливо для любого (хотя бы для одного) единичного термина, принадлежащего словарю данной теории.
Класс универсально общезначимых формул Л.п. первого порядка может быть формализован, т.е. существуют исчисления (синтаксически построенные логические системы), классы теорем которых совпадают с множеством законов семантически построенной Л.п. Данный факт был впервые установлен К. Гёделем (1930). Л.п. высших порядков являются принципиально неформализуемыми, т.е. нельзя построить адекватные им исчисления.
Среди других метатеоретических свойств Л.п. следует отметить ее неразрешимость (отсутствие эффективной процедуры, позволяющей в конечное число шагов определять, является ли произвольная формула законом Л.п.), установленную А. Чёрчем (1936), и синтаксическую неполноту исчислений предикатов (т.е. возможность добавления в качестве новых аксиом некоторых недоказуемых формул без получения в системе противоречия). Последнее свойство имеет серьезное в методологическом отношении следствие: обеспечивается возможность построения на Л.п. нетривиальных прикладных теорий. В этом случае вместо абстрактных предметных, предикаторных и предметно-функциональных констант в алфавит вводятся конкретные термины словаря теории — имена объектов ее предметной области, знаки их свойств и отношений, знаки заданных на данной области предметных функций. Сами прикладные первопорядковые теории (их часто еще называют элементарными) строятся обычно аксиоматически: к логической части (аксиомам и правилам вывода исчисления предикатов) добавляется собственная часть прикладной теории — постулаты, отражающие закономерности ее предметной области. Простейшими примерами первопорядковых теорий являются так называемые теории (логики) отношений: Л.п. с равенством, теория отношения эквивалентности, различные теории порядка.
Наиболее известной элементарной теорией является система формальной арифметики Пеано.
Еше одним побудительным мотивом расширения выразительных возможностей языка Л.п. является стремление к более адекватному логическому анализу контекстов естественного языка. Так, точное воспроизведение структуры описательных имен предполагает обогащение языка Л.п. операторами дескрипции, ведь в стандартном первопорядковом языке выразим лишь один тип сложных имен — образованных с использованием предметных функторов. Обычно различается два оператора дескрипции — оператор определенной дескрипции ί и оператор неопределенной дескрипции ε. При введении их в язык Л.п. появляются новые типы сложных термов — ίx A («тот самый единственный х, который удовлетворяет условию А») и ε х А («некий х из числа тех, которые удовлетворяет условию А»), Логические системы с оператором определенной дескрипции были построены и изучены Б. Расселом, а Д. Гильбертом было сформулировано ε-исчисление — обобщение перво-порядковой Л.п. за счет добавления ε-термов.
Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 285-287.