Противоречие (Кузнецов)

ПРОТИВОРЕЧИЕ -

1) в классической логике — название одного из производных отношений по форме между высказываниями. Два высказывания находятся в отношении П., если они не совместимы по истинности и не совместимы по ложности. Например, в отношении П. находятся следующие высказывания: «Все люди смертны» и «Некоторые люди не являются смертными», а также «Это число делится на два и на пять» и «Если это число делится на два, то оно не делится на пять». Если два высказывания находятся в отношении П., то одно из них эквивалентно отрицанию другого;

2) П. в метаязыке — утверждение об одновременной истинности и ложности какого-либо высказывания.

П. является нарушением одного из фундаментальных принципов, на которых основывается классическая логика, — принципа непротиворечия: одно и то же высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Принятие этого принципа связано с требованием последовательности рассуждений;

3) в языке логической теории П. — это формула вида А & ¬ А или любая формула, эквивалентная ей.

В соответствии с условиями истинности конъюнкции и отрицания, принятыми в классической логике, формула вида А & ¬ А является тождественно-ложной (невы-полнимой). Соответственно формула вида ¬ (А & ¬ А), известная как схема закона не-противоречия, оказывается тождественно- истинной (общезначимой). Содержательно законы этого вида можно трактовать как реализацию в языке теории метапринципа непротиворечия.

П. (в значении 2 и 3) играет важную роль в обосновании непрямых способов аргументации и доказательства, основанных на механизме «сведения к П.». В классической логике к таковым относятся рассуждение от противного и сведение к абсурду. Эти же идеи положены в основу правила введения отрицания при построении натуральных исчислений (¬ А, ¬ А)/С, где С - допущение.

В то же время П. оказывается источником целого ряда парадоксов. Выражение (А & ¬ A) ⊃ В, где В - произвольная формула, также является схемой закона классической логики. С этой формулой связана и определенная форма правильного умозаключения — (А & ¬ А) А В (или А, ¬ ААВ), получившая название «Противоречие влечет все что угодно». Благодаря этим парадоксальным формулам и схемам рассуждений появление П. (в значении 2 и 3) на метатеоретическом уровне или в рамках логического исчисления приводит к тривиализации теории — произвольное высказывание оказывается ее законом. Очевидно, что подобные парадоксы не соответствуют интуиции и практике естественных человеческих рассуждений. Попытки их избежать привели к построению ряда неклассических логических теорий (см. Релевантная логика и Паранепротиворечивая логика). Возникновение этих неклассических логических теорий связано с отказом от по крайней мере одного из «классических» принципов — принципа непротиворечия.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с.452.