Формализм

ФОРМАЛИЗМ в логике и математике, одно из основных направлений в основаниях математики и логики, выдвигающее в качестве главной задачи обоснования этих дисциплин построение их в виде исчислений средствами специальной теории (названной основоположником формализма Гильбертом метаматематикой, или теорией доказательств).

Разрабатываемая Гильбертом в 1922—1939 годы программа метаматематического обоснования математики (и логики) декларировала возможность «спасения» всей классической математики, т. е. математики, строящейся на базе теории множеств Г. Кантора, безоговорочно пользующейся абстракцией актуальной бесконечности и всем арсеналом дедуктивных средств традиционной логики. По замыслу Гильберта, отсутствие парадоксов в выбранной системе аксиом теории множеств могло бы быть гарантировано тем, что метаязык, на котором проводилось бы доказательство её непротиворечивости, содержал бы лишь финитные, конечные (никак не предполагающие использование понятия «актуальной бесконечности») выразительные и дедуктивные средства, абсолютно безупречные в отношении их ясности и убедительности.

Метаматематическая программа Гильберта, в ходе реализации которой им самим и его школой (П. Бернайс, В. Аккерман, Г. Генцен и др.) был получен ряд важнейших результатов (см. Непротиворечивость, Полнота), подверглась критике со стороны других направлений оснований математики, в первую очередь интуиционизма (см. также Логицизм). В то же время фундаментальное открытие Гёделя (1931), установившее несовместимость требований непротиворечивости и полноты для достаточно богатых (с точки зрения их выразительных и дедуктивных средств) логико-математических исчислений, показало принципиальную ограниченность концепции формализма.

Вместе с тем метаматематические принципы в сочетании с идеями и аппаратом других направлений (например, конструктивною направления) используются для разработки проблем теории доказательств (например, американским логиком Г. Крайзелем, рядом советских логиков). См. также Аксиоматический метод, Метатеория.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

Литература:

Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики, пер. с нем., т. 1, М., 1979; Кpайзель Г., Исследования по теории доказательств, пер. с англ., М., 1981.