Метатеория (НФЭ, 2010)

МЕТАТЕОРИЯ (от греч. μετά – после и теория; буквально теория о некоторой другой теории) – одно из важнейших понятий современной логики, математики, философии и методологии науки; теория, анализирующая структуру, методы и свойства некоторой другой теории – предметной, или объектной, теории. В самом общем смысле метатеорией является любой метаязык, описывающий структуру, свойства и т. п. какого-либо языка-объекта. Согласно выработанным в 20 веке представлениям (У. Сепир, Б. Уорф, К. Поппер и др.), каждый язык является концептуализацией мира или его фрагментов, т. е. теорией (возможно, не очень богатой, как, например, язык знаков светофора, или очень богатой в случае естественного языка). Поэтому соответствующий метаязык выступает в качестве метатеории по отношению к теории, сформулированной в языке-объекте. Исторически термин «метатеория» был первоначально введен в начале 20 века в исследованиях по основаниям математики и логики (Д. Гильберт, К. Гёдель, А. Тарский, Р. Карнап, А. Чёрч, С. Клини и др.) применительно к изучению математических и логических теорий, результатом чего явились программы построения метаматематики и металогики. Именно в этой области в метатеоретических исследованиях были получены важные результаты.

Основная задача построения метатеории состоит в уточнении (экспликации) соответствующих предметных теорий и анализе их свойств. При этом в рамках общей программы проведения метатеоретических исследований на предметные теории и метатеории не накладывается никаких ограничений: они могут быть содержательными, дедуктивными, частично или полностью формализованными и могут использовать любые логические средства. Результатами таких исследований явились попытки построения метабиологии, метахимии, метатеории физического знания, метатеории теорий систем и далее метанауки, однако в них пока не получены значительные метатеоретические достижения, сравнимые с теми, которые имеются в метаматематике и металогике.

Одной из исходных посылок метаматематической программы Гильберта является утверждение о том, что в качестве предметной теории, для которой будет строиться соответствующая метатеория, следует брать не некую содержательную теорию, например, содержательную математику, а ее формализованное представление в виде исчисления или формальной системы (теории). Такая формальная система строится по явно сформулированным, четким правилам; она может состоять из неинтерпретированных знаков и знакосочетаний (формул, выражений) – в этом случае она является синтаксической (см. Логический синтаксис), или ее элементам приписывается определенная интерпретация, то есть фиксируется их смысл или значение, – и в этом случае она является семантической (см. Логическая семантика). Метатеория, которая строится по отношению к таким образом представленной предметной теории, является содержательной теорией, т. е. она состоит из содержательно понимаемых элементов естественного языка. В ней формулируются метатеоремы – теоремы о теоремах, которые описывают синтаксические и семантические свойства соответствующей предметной (формализованной) теории.

Для того, чтобы метаматематика выполнила свою основную функцию – обоснования содержательной математики, она, согласно Гильберту, должна пользоваться только так называемыми финитными методами, то есть использовать лишь конечные конструкции и конструктивные доказательства, не допускающие применения абстракции актуальной бесконечности, которая играет важную роль в содержательной математике и в ее формализованном представлении. В рамках этой программы был получен ряд важных метатеоретических результатов. Так, была доказана синтаксическая метатеорема о дедукции, которая устанавливает связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории (напр., в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логической операцией импликации, входящей в алфавит данной предметной теории. Примером семантической метатеоремы является теорема о полноте классического исчисления высказываний, согласно которой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной теоремы) и формулы, истинной при некоторой его интерпретации, совпадают. Некоторые понятия метаматематики носят смешанный – синтаксически-семантический характер. Таково, например, понятие непротиворечивости, которое синтаксически определяется как невыводимость в предметной теории противоречия, т. е. конъюнкции некоторой формулы и ее отрицания, а в семантическом плане означает соответствие данной предметной теории некоторой ее интерпретации. Эквиваленность этих определений является нетривиальным метатеоретическим фактом.

Несмотря на указанные и многие другие метатеоретические результаты оказалось, что метаматематическая программа Гильберта и прежде всего его финитистская установка не могут быть реализованы. Это убедительно показал Гёдель (1931), доказав свои две знаменитые теоремы. Согласно его первой теореме, любая формализованная система, достаточно богатая для того, чтобы включать в себя арифметику натуральных чисел, неполна, так как в ней имеются правильно построенные формулы (выражения), которые не доказуемы и не опровержимы в ее рамках. Вторая теорема Гёделя утверждает: если арифметическая формальная система непротиворечива, то невозможно построить доказательство ее непротиворечивости, проведенное средствами, формализуемыми в этой системе. Эти теоремы, имеющие несомненное философско-методологическое значение, свидетельствуют об ограниченности метода формализации теорий, который лежит в основе гильбертовской метаматематической программы, и о том, что с помощью финитных методов нельзя доказать непротиворечивость не только классической математики, но даже и классической арифметики.

Вслед за результатами Гёделя были вскрыты и другие ограниченности формализмов: Чёрч доказал неразрешимость проблемы разрешения для узкого исчисления предикатов, Тарский показал невыразимость предиката истинности для какого-либо исчисления средствами этого же исчисления и т. д. В связи с этим потребовалась определенная модификация программы Гильберта – необходимо было найти новые, более сильные, чем финитные, но также достаточно убедительные методы метатеоретических рассуждений. Значительный прогресс в этом отношении был получен в середине и во 2-й половине 20 века Г. Генценом, В. Аккерманом, П.С. Новиковым, К. Шютте, А.С. Есениным-Вольпиным и др.; метаматематические и металогические исследования остаются актуальной задачей и в настоящее время.

Ю.А. Гастев, В.Н. Садовский

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. II, Е – М, с. 540-541.

Литература:

Гильберт Д. Основания геометрии. М.–Л., 1948;

Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957;

Математическая теория логического вывода. М., 1967;

Турчин В.Ф. «Сумасшедшие» теории и метанаука. – «ВФ» 1968, № 5;

Садовский В.Н. Общая теория систем как метатеория. – «ВФ» 1972, № 4;

Есенин-Вольпин А.С. Об антитрадиционной (ультраинтуиционистской) программе оснований математики и естественнонаучном мышлении. – «ВФ» 1996, № 8;

Tarski Α., Moslovski Α., Robinson P.M. Undecidable Theories. Amst., 1953;

Woodger J.H. The Axiomatic Method in Biology. Cambr., 1937.

См. также литературу к статье Метаязык.