Идеальные объекты в математике

ИДЕАЛЬНЫЕ ОБЪЕКТЫ В МАТЕМАТИКЕ — математические понятия, не имеющие видимой связи с объектами реального мира. Понятие И.о. в м. возникло из естественного различия межцу объектами, имеющими определенный коррелят в опыте, и объектами, у которых такой коррелят отсутствует. К этому различению приводит, в частности, введение в математику мнимых чисел и бесконечно малых величин. Лейбниц говорил о бесконечно малых величинах как о фикциях, которые ничему не соответствуют в опыте, но которые полезны в математике для ее внутренних нужд. Эти же идеи мы видим у Эйлера и Л. Карно. Карно разделял все математические понятия на означенные, имеющие связь с опытом, и неозначенные, выполняющие в математике вспомогательную функцию. Бесконечно малые величины он относил к понятиям второго рода и в этом плане пытался оправдать их использование в современной ему математике. Обосновывая законность введения в математику новой геометрии, Н.И. Лобачевский рассматривал ее как воображаемую конструкцию, которая, даже если она неприменима к измерениям «на самом деле», может оказаться полезной в качестве внутреннего аппарата математического мышления. Для подтверждения своей позиции Лобачевский указывал на возможность использования новой геометрии для вычисления интегралов, которые не поддавались вычислению другими методами. Представление об идеальных элементах лежит в основе гильбертовского подхода к проблеме обоснования математики. Гильберт полагал, что математические понятия и принципы, предполагающие использование понятия актуальной бесконечности, являются идеальными сущностями, дополняющими математические теории в плане их логической целостности, и использование этих сущностей, по его мнению, должно быть оправдано на основе финитных понятий, допускающих прямое сопоставление с опытом.

Не подлежит сомнению, что существуют разные уровни математических абстракций, соответственно различной удаленности последних от представлений опыта и различной степени интерпретируемости в этих представлениях. Если понятия числа и математические фигуры видятся непосредственно извлеченными из опыта, то это трудно представить в отношении бесконечных множеств, многомерных пространств или различного рода несобственных элементов. Совершенно очевидным является и то обстоятельство, что реально значимые задачи науки всегда формулируются в понятиях и суждениях, имеющих оправдание в опыте, и что для решения этих задач, как правило, приходится прибегать к понятиям, далеким от сферы чувственно осязаемой интерпретации. Мы должны признать, таким образом, то обстоятельство, что наряду с понятиями, которые имеют достаточно ясную интерпретацию в опыте, наука содержит в себе множество понятий, имеющих чисто инструментальное значение. Эти понятия являются некоторого рода логическими фикциями, имеющими значение для построения эффективно работающих теорий в отношении некоторой сферы опыта. За понятием И.о. в м. стоит, таким образом, весьма важная проблема реальной значимости образов, лежащих в основе наших теоретических конструкций.

Разделение идеальных и реальных объектов в математике, достаточно ясное в общем плане, не является, однако, хорошо определенным практически в том смысле, что мы не имеем однозначного критерия выделения первичного множества реальных объектов. Натуральные числа, которые в большинстве случаев их использования мы относим к реальным (означенным) элементам математического мышления, в действительности также являются продуктом многоступенчатой идеализации и, строго говоря, не имеют адекватных коррелятов в мире опыта. Этот факт побуждает нас к заключению об одинаковой идеальности всех объектов математики, что, конечно, не может быть принято. Существует позиция, согласно которой к реальным (означенным) объектам в математике следует причислять те и только те объекты, свойства которых даны нам с аподиктической очевидностью (Э. Гуссерль). Эта трактовка требует, однако, ясного разделения аподиктической и ассерторической очевидности, т.е. связана с различением типов очевидно- стей, лежащих в основе познавательной деятельности.

Литература:

Избранные отрывки из математических сочинений Г.В. Лейбница//УМН. 1948. Т. 3. Вып. 1(83);

Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. М. 1934;

Лобачевский Н.И. Новые начала геометрии. Полн. собр. соч.Т. 2. М., 1951;

Гильберт Д. О бесконечном /Основания геометрии. М.—Л., 1948;

Гуссерль Э. Логические исследования. Т. 1. Пролегомены к чистой логике. СПб., 1909;

Wagner S. Arithmetical Fiction // Pacific Philosophical Quarterly. 1992. 3.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 180-181.

Яндекс.Метрика