Определимость

ОПРЕДЕЛИМОСТЬ – понятие методологии дедуктивных наук, связанное с выразимостью в рамках некоторой формальной системы одних понятий через другие. Говоря об определимости, имеют в виду те условия, при которых можно считать, что значение того или иного термина полностью или частично определено некоторой совокупностью предложений. Т.к. имена и предметные функторы выразимы посредством соответствующих предикатов, то вопрос об определимости дескриптивных терминов может быть сведен к вопросу об определимости предикатов.

Впервые вопрос об определимости был поднят в связи с рассмотрением отношения между Евклидовой и неевклидовыми геометриями в работах А.Падоа. В дальнейшем в четкой форме понятие определимости было введено А.Тарским. Большое значение для теории определимости сыграли интерполяционная теорема Крейга и теорема Э.Бета. В этих работах была показана тесная связь понятия определимости с понятием выводимости. В результате ряд важных проблем, относящихся к определимости, удалось свести к хорошо разработанным проблемам логического вывода.

Различают синтаксическое и семантическое понятия явной и неявной определимости. Говорят, что в теории T предикат P (х1,..., хn) явно синтаксически определим, если в языке, на котором сформулирована теория T, найдется такая формула А (х1,..., хn), содержащая в точности переменные х1,..., хn и не содержащая предиката P, что оказывается доказуемо следующее утверждение: T ├ ∀x1...∀xn (P (x1, ..., xn) ≡ A (х1,..., хn)). При тех же условиях говорят, что предикат P (х1,..., хn) явно семантически определим в теории T, если семантически можно обосновать утверждение: ∀M (M ||= T ⇒ M ||= ∀x1... ∀xn (P(x1, ..., xn) ≡ A (x1, ..., xn)), т.е. каждая возможная реализация теории T, являющаяся ее моделью, является моделью и для формулы ∀x1... ∀xn(P (x1, ..., xn) ≡ A (x1, ..., xn)). Для первопорядковой логики, в силу адекватности ее семантики и синтаксиса, эти два понятия оказываются эквивалентными. Понятие неявной синтаксической определимости задается следующим условием. Пусть Pʹ(x1, ..., xn) – n-местный предикат, не содержащийся в теории T. Пусть далее Tʹ будет теорией, образованной из теории T, заменой в каждом предложении всех вхождений предиката P (x1, ..., xn) на предикат Ρʹ(x1, ..., xn). Тогда: предикат Р (x1, ..., xn) неявно синтаксически определим в теории T, если T  Tʹ ├ ∀x1... ∀xn (Р (x1, ..., xn) ≡ Рʹ(x1, ..., xn)), т.е. в теории, которая является объединением двух теорий T и Tʹ, доказуемо утверждение об эквивалентности двух указанных предикатов. Наконец, предикат Р (x1, ..., xn) неявно семантически определим в теории T, если любые две возможные реализации, которые приписывают одно и то же значение всем предикатам, отличным от предиката P (x1, ..., xn), припишут одинаковые значения и самому предикату P (x1, ..., xn).

А.Падоа доказал метатеорему, согласно которой если предикат P (x1, ..., xn) явно семантически определим в теории, то он и неявно семантически определим в ней. Э.Бет доказал обратную теорему. Вообще, для первопорядковой логики показана эквивалентность всех указанных понятий определимости.

В логической литературе кроме указанных рассматриваются и др. виды определимости. Их введение обусловлено типом определений, посредством которых в состав теории вводятся те или иные термины. К ним относятся явные и неявные условные определимости, а также более их общий случай – определимости по случаям. Последний вид определимости играет большую роль при определении операциональных (диспозиционных) терминов. Рассматриваются также различные виды неполной (частичной) определимости, играющие значительную роль при рассмотрении отношений между теоретическими терминами и терминами наблюдения в составе прикладных теорий – дизъюнктивная, условно-параметрическая и параметрическая определимость. Для всех них доказан аналог теоремы Э. Бета. Для случая контекстуального определения терминов рассматривается особый вид контекстуальной определимости.

Часто в логике термин «определимость» употребляется еще в одном смысле, а именно – в смысле выразимости внелингвистических объектов (отношений, свойств, функций) средствами некоторого языка. Понятие определимости в этом смысле было введено А. Тарским и обобщено А. Мостовским. Именно с этим кругом понятий существенно связаны метатеоремы об ограниченности формализмов.

Пусть K – непротиворечивый и замкнутый относительно выводимости класс формул языка L. Тогда n-местное отношение R (x1, х2, ..., хn) считается синтаксически K-определимым (выразимым) в языке L, если и только если в этом языке существует формула A, содержащая в точности и попарно различных переменных x1, х2, ..., хn, удовлетворяющая условию: для любой n-ки объектов k1, k2, ..., kn имеет место:

1. (R (k1, k2, ..., kn) ⊃ A (Dk1, Dk2,..., Dkn) ∈ K),

2. (¬R (k1, k2, ..., kn) ⊃ ¬A (Dk1, Dk2,..., Dkn) ∈ K),

где Dki – терм, обозначающий объект ki. Формула A в этом случае называется K-определяющей n-местное отношение R (x1, x2, ..., xn).

Если в некоторой теории класс общезначимых формул (истинных предложений) Tr непротиворечив и замкнут, то в качестве класса K может выступить класс Tr и мы получаем понятие семантической определимости (выразимости) n-местного отношения R (x1, x2, ..., хn).

Пусть в некоторой теории класс теорем T непротиворечив и замкнут. Тогда в случае K = T мы получаем понятие рекурсивной определимости (Т-определимости). Формула A в этом случае рекурсивно определяет n-местное отношение R (x1, х2, ..., xn). Понятия формальной дедуктивной системы и эффективно заданной операции оказываются, таким образом, внутренне связанными. Язык выступает как подлинный аналитический метод, как механизм исследования конструирующих мыслительных процедур.

Доказано, что если отношение R T-определимо в достаточно богатой системе (напр., в формальной первопорядковой арифметике – P), то оно общерекурсивно, и обратно. Понятие T-определимости в P является абсолютным в том смысле, что им охватываются все разрешимые предикаты и эффективно вычислимые функции. Поэтому для достаточно богатой системы (напр., той же системы P) такие синтаксические понятия (понятия метаязыка), как «переменная», «предложение», «аксиома», «формальное доказательство» и др. определимы в языке P, т.е. синтаксические понятия теории выразимы в самой теории. Однако семантические понятия теории не могут быть описаны в языке теории (метатеорема Тарского).

Введение понятия K-определимости дает своеобразный единый метод доказательства ограничительных метатеорем – теорем Тарского, Россера, Гёделя и позволяет вскрыть определенную внутреннюю связь теорем об ограниченностях формализмов.

В.А. Бочаров, Ε.Д. Смирнова

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. III, Н – С, с. 156-157.

Литература:

Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М., 1987;

Садовский В.И., Смирнов В.А. Полная и неполная определимость в теориях первого порядка. – В кн.: Методы логического анализа. М., 1977;

Смирнова Е.Д. Логика и философия. М., 1996;

Beth Т.W. The foundations of mathematics. Amst., 1959;

Mostowski A. Sentences undecidable in formaliced arithmetic. An expozition of tne theory of Kurt Gödel., 1952;

Mostowski A. Graig interpolation theorem in some extended systems of logic. – Logic, methodology and philosophy of science. Amst., 1968.

Яндекс.Метрика