Бесконечность

БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ И ЛОГИКЕ. Использование актуальной бесконечности в математике настойчиво стремятся легализовать со 2-й пол. 19 в. В этом процессе большую роль сыграли труды Б. Больцано, К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и в особенности Г. Кантора. В их работах было систематизировано употребление понятия бесконечности в европейской традиции, выделены его основные аспекты и была предложена (Кантором) беспрецедентно дерзкая конструкция «шкалы бесконечностей», ведущая от самых простых типов бесконечности до бесконечности в Боге.

БЕСКОНЕЧНОЕ В ИСТОРИИ ФИЛОСОФИИ. Античная мысль в основном рассматривает бесконечное как неоформленное, как не ставшее и, следовательно, несовершенное. В пифагорейском списке противоположностей бесконечное стоит на стороне дурного (злого). Бытие в античной мысли связано с категорией меры и предела. Бесконечное выступает как беспредельное, безграничное, почти не существующее — … и потому есть нечто близкое к хаосу, а иногда и отождествляется с ним. Бесконечное сближается у Платона и Аристотеля с категорией материи как бесформенным и в силу этого как бы несуществующим.

БЕСКОНЕЧНОЕ (бесконечность) — философское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле. Вопрос о бесконечном возникает на всем протяжении истории культуры в самых разнообразных формах. Одна из самых непосредственных — проблема бесконечности (или конечности) мирового пространства, времени, количества вещей в мире. Сюда же относится и вопрос о возможности бесконечного деления континуума, выделения в нем точек. Наконец, более изощренной логической техники требует обсуждение вопроса о существовании разных «типов» бесконечного.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ — общее название различных реализаций идеи бесконечности в математике. Хотя между значениями понятия Математическая бесконечность и другими значениями, в которых употребляется термин «бесконечность», нет жесткой границы (поскольку все эти понятия в конечном счете отражают весьма близкие свойства реального мира), математический анализ понятия бесконечности следует отграничивать от философского анализа, — признавая диалектический характер бесконечности, математика стремится выделить в качестве ее экспликатов формально непротиворечивые понятия, пригодные для строгого дедуктивного (формально-логического) построения математических и логико-математических теорий.

БЕСКОНЕЧНОЕ (INFINI). Этимология слова достаточно прозрачна: бесконечное есть то, что не имеет конца, предела (finis), границы. Не следует путать бесконечное с неопределенным, ибо последнее представляет собой то, что не имеет известного или доступного познанию предела. Самые удобные примеры бесконечного предоставляет нам математика. Каждый понимает, что последовательность чисел бесконечна — ведь к самому большому числу всегда можно прибавить еще какое-то число.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ ДУРНАЯ — метафизическое понимание бесконечности мира, предполагающее допущение монотонного, без конца повторяющегося чередования одних и тех же конкретных свойств, процессов и законов движения в любых масштабах пространства и времени. Применительно к строению материи Бесконечность дурная означает допущение неограниченной делимости материи, при которой каждая меньшая частица обладает теми же свойствами и подчиняется тем же специфичным законам движения, что и макроскопические тела.

БЕСКОНЕЧНОЕ И КОНЕЧНОЕ — категории, выражающие неразрывно связанные между собой противоположные стороны объективного мира. Бесконечное характеризует: 1) существование мира в пространстве, неограниченное многообразие пространственных структур материи, принципиальную незамкнутость всех материальных систем; 2) существование мира во времени, несотворимость и неуничтожимость материи, вечность ее бытия; 3) количественную неисчерпаемость материи вглубь, бесконечное многообразие ее свойств, взаимосвязей, форм бытия и тенденций развития; 4) качественную неоднородность строения материи, существование бесчисленного множества качественно различных уровней структурной организации материи, на каждом из которых материя обладает различными специфическими свойствами и подчиняется разным закономерностям. Теоретическое понимание бесконечного постоянно совершенствуется с прогрессом научного знания. В истории науки вначале акцентировалось внимание на количественных аспектах бесконечного, которые изучались математикой. Бесконечная величина (либо бесконечно малая) определялась как неограниченно возрастающая (убывающая) переменная величина, способная стать и становящаяся больше (меньше) любой, наперед заданной, сколь угодно большой (малой) конечной величины. Бесконечное множество рассматривается как множество, в котором отсутствует верхний последний элемент и в котором существует собственная часть (подмножество), равномощная (или эквивалентная) целому множеству (например, множество всех чисел натурального ряда и множество квадратов, кубов и т. д.)...

БЕСКОНЕЧНОСТЬ - 1) в широком смысле — философская категория, используемая для описания неисчерпаемости материи и движения; 2) в узком смысле — одно из важнейших понятий философии математики. В философском плане Б. может быть естественно определена через понятие конечного, а именно как возможность выхода за пределы конечного, которая неизбежно предполагается уже в самых первых представлениях арифметики и геометрии. Эта же идея лежит и в основе более строгих математических определений бесконечного, которые формулируются по-разному в различных математических теориях.