Бесконечность
БЕСКОНЕЧНОСТЬ - 1) в широком смысле — философская категория, используемая для описания неисчерпаемости материи и движения; 2) в узком смысле — одно из важнейших понятий философии математики. В философском плане Б. может быть естественно определена через понятие конечного, а именно как возможность выхода за пределы конечного, которая неизбежно предполагается уже в самых первых представлениях арифметики и геометрии. Эта же идея лежит и в основе более строгих математических определений бесконечного, которые формулируются по-разному в различных математических теориях. Математическое мышление органически связано с идеей бесконечного в том смысле, что без допущений о возможности выхода за пределы конечного математическое рассуждение вообще не могло бы осуществляться.
В философии математики принято разделять два вида Б.: потенциальную, состоящую в возможности постепенного увеличения конечного, и актуальную, состоящую в допущении существования бесконечного множества как завершенного.
Еще в древности философы высказывались за недопустимость в математике понятия актуальной Б. Аристотель считал, что завершенная Б. непознаваема и не поддается представлению. Аналогичного мнения на этот счет придерживались Н. Кузанский, Г.Ф. Гаусс, Н.И. Лобачевский, Л. Кронекер. Тем не менее практика математического мышления привела к необходимости оперировать завершенными Б. и принимать мате-матические теории, существенно основанные на понятии актуальной Б. Теория множеств, построенная Г. Кантором в 70—80-е гг. XIX в., с самого начала исходит из определения операций с бесконечными множествами как с законченными, заданными в своей мощности.
Философия математики XX в. существенно связана с анализом понятия Б. Появление парадоксов в теории множеств привело к мысли, что использование понятия бесконечного множества в математике нуждается в ограничениях, которые вытекают из природы математического мышления. В подходах к решению этой задачи, предложенных в начале XX в., предполагалось, что обоснование бесконечного в математике должно быть произведено на основе конечного (финитский подход). Наиболее впечатляющая попытка такого обоснования была намечена Д. Гильбертом в его программе формалистского обоснования математики (формализм). Замысел этой программы состоял в том, чтобы обосновать непротиворечивость теорий, использующих понятие актуальной бесконечности, в рамках метатеории, в которой это понятие отсутствует. Таким образом, предполагалось оправдать бесконечность в математике как полезную и безвредную конструкцию, расширяющую внутренние возможности математического мышления. Поскольку этот замысел оказался невыполнимым, то проблема обоснования Б. в математике продолжает оставаться актуальной и в настоящее время.
Анализ возможностей сведения бесконечного к конечному остается основным направлением исследования понятия бесконечности и в настоящее время. Вместе с тем в рамках платонистской философии математики выдвигаются идеи о том, что понятия, связанные с Б., должны получить, по крайней мере в некоторых случаях, непосредственное обоснование. Таким образом, в настоящее время существуют финитский и реалистический (платонистский) подходы к обоснованию понятия Б. в математике. В наиболее определенной форме идея непосредственного оправдания бесконечных множеств на основе их реалистического истолкования была намечена К. Гёделем.
Современная философия математики не связывает понятие Б. в математике с какой- либо содержательной основой, с существованием реальной Б. в мире. Она исходит из того, что бесконечность в математике — исключительно мысленная конструкция, выполняющая определенную функцию в систематизации математических операций, которая была бы необходимой даже в том случае, если бы мироздание оказалось конечным в неком существенном смысле. Это значит, что современная философия математики берет это понятие преимущественно в гносеологическом плане, рассматривая его как элемент понятийных систем, и отделяет проблему математической Б. от проблемы Б. в физике и в философии. Попытки оправдать факты использования понятия Б. в математике из ряда допущений об устройстве мира с этой точки зрения не могут быть приняты как законные.
Литература:
Аристотель. Метафизика. Кн. III; Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911; Гильберт Д. О бесконечном / Основания геометрии. М., 1948; Shaughan Lavine Understanding the Infinite. L., 1994; Гёдель К. Расселовская философия математики / Рассел Б. Введение в математическую философию. Новосибирск, 1996; Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. М.,1997.
Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 46-47.