Аксиоматический метод (Кузнецов, 2007)

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - способ развития, систематизации и построения теоретического знания в форме так называемых аксиоматических теорий. Применение А.м. состоит в процедуре аксиоматизации совокупности сведений, которые получены в ходе предварительного содержательного анализа того или иного круга явлений, т.е. в нахождении таких исходных положений, принимаемых без доказательства и называемых аксиомами, или постулатами, из которых чисто логически посредством процедур вывода (доказательства) выводятся (дедуцируются) все остальные сведения, называемые теоре-мами. Если это удается сделать, то исходную совокупность сведений называют содержательной теорией, а найденные аксиомы вместе с теоремами называют формализованной аксиоматической теорией. Для аксиоматизации содержательной теории требуется достаточно высокая степень ее разработанности.

Иногда аксиоматическую теорию строят с помощью специального языка символов. В этом случае аксиомы представляют собой формулы этого языка (последовательности символов), а теоремы получаются как преобразования исходных последовательностей символов в новые последовательности по строго определенным логическим правилам исходных последовательностей символов в новые последовательности. Такую теорию называют исчислением, или формальной аксиоматической теорией.

Содержательные теории с отдельными элементами теории дедукции широко используются в научном познании, собственно же А.м. нашел свое наиболее полное применение в области математики, логики и физики. Исторически первой аксиоматической теорией была теория бытия, построенная древнегреческим философом Парменидом, представителем элейской школы. В логике первые аксиоматические теории были предложены Аристотелем (см. Силлогистика) и представителями стоически-мегарской школы (см. Логика высказываний). Несколько позже в математике Евклид аксиоматизировал геометрию, а в конце XIX в. итальянский логик и математик Пеано аксиоматизировал арифметику. В физике первая аксиоматическая теория была построена И. Ньютоном (классическая механика).

Аксиоматические теории представляют собой высшую форму организации знания. 

Относительно них могут устанавливаться такие их свойства, как непротиворечивость, полнота, разрешимость, независимость исходных постулатов, определяться их отношения к другим аксиоматическим теориям и т.д. Однако, как показал К. Гёдель, доказавший в 1931 г. теорему о неполноте формальной арифметики, А.м. имеет существенные ограничения в своем применении, т.к. достаточно богатые содержательные теории (теории, содержащие по крайней мере арифметику) в принципе не могут быть полностью аксиоматизированы. В дальнейшем были получены и другие ограничительные теоремы, касающиеся А.м. В частности, А. Тарский показал, что понятие истины, определяемое относительно некоторой теории, не выразимо средствами этой теории.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 6-7.