Интуиционистская логика (Кузнецов, 2007)

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА - одна из систем неклассической логики, систематизирующая и формализующая так называемые конструктивные рассуждения, которые разрабатываются и используются в рамках интуиционистской программы оснований математики (интуиционизма). 

Интуиционисты видели причину кризиса математики, связанного с обнаружением противоречивости наивной теории множеств, в использовании в математических доказательствах некоторых — порочных, на их взгляд, — принципов классической логики. Среди них законы исключенного третьего (pv - - p) и снятия двойного отрицания (- - p @ р), принцип рассуждения «от противного» и др. В 1930 г. А. Гейтингом было построено логическое исчисление, свободное от интуиционистски неприемлемых, неконструктивных средств дедукции.

И.л. предполагает иную, нежели в классической логике, трактовку смысла логических связок и кванторов, иные условия истинности высказываний, подвергает существенному пересмотру само понятие истинного высказывания: высказывание оценивается как истинное не тогда, когда содержащееся в нем утверждение соответствует действительности, а когда существует эффективный метод его обоснования — конструктивное доказательство. Конъюнктивное высказывание трактуется как утверждение о конструктивной доказанности каждого его члена. Дизъюнктивное высказывание истинно, если конструктивно доказан хотя бы один из членов дизъюнкции, причем точно известно, какой именно. Смысл импликативного высказывания состоит в существовании общего метода, позволяющего преобразовать конструктивное доказательство антецедента в конструктивное доказательство консеквента. Отрицание некоторого высказывания истинно, если существует эффективная процедура получения противоречия из данного высказывания. Экзистенциальное (т.е. с квантором существования) высказывание считается истинным, если можно предъявить объект, который удовлетворяет его подкванторной части, или указать алгоритм его порождения. Универсальное (т.е. с квантором общности) высказывание понимается как утверждение о наличии общего для любого индивида предметной области метода конструктивного доказательства того, что он удовлетворяет подкванторной части.

Различные попытки содержательного истолкования И.л. следуют в русле ее трактовки как «логики знания» в отличие от классической логики, понимаемой как «логика бытия». Так, А.Н. Колмогоровым в 1932 г. предложена интерпретация Ил. как «исчисления задач»: значениями пропозициональных переменных являются произвольные задачи, а сложные формулы трактуются как задачи по решению других задач (например, конъюнктивной формуле соответствует задача «решить обе задачи», импликативной - «свести решение одной задачи к решению другой» и т.д.). Оригинальная интерпретация И.л. как логики научного исследования, опирающаяся на понятия информации и информационного приращения, предложена А. Гжегорчиком в 1964 г. Примерно в это же время С. Крипке построил адекватную И.л. семантику возможных миров, в которой отношение достижимости рефлексивно и транзитивно, и действует «принцип сохранности»: все высказывания, истинные в некотором возможном мире, сохраняют свою истинность в любом мире, достижимом из данного. Эта особенность семантики Крипке позволяет рассматривать Ил. как эксплицирующую кумулятивную модель развития знания, как логику «роста и накопления» знания.

Важное метатеоретическое значение имеют результаты, устанавливающие взаимосвязь И.л. с другими логическими системами. Так, В. Гливенко (1929) установил, что произвольная формула является законом классической логики тогда и только тогда, когда ее двойное отрицание доказуемо интуиционистски. Дж. Маккинси и А. Тарский (1948) предложили естественный перевод формул И.л. в язык модальной логики и доказали, что этот перевод погружает И.л. в модальную систему S4.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 210-211.