Аксиома (БСЭ, 1969)

АКСИОМА (греч. axioma - удостоенное, принятое положение, от axido - считаю достойным), положение некоторой данной теории, которое при дедуктивном построении этой теории не доказывается в ней, а принимается за исходное, отправное, лежащее в основе доказательств других предложений этой теории. Обычно в качестве аксиомы выбирают такие предложения рассматриваемой теории, которые являются заведомо истинными или могут в рамках этой теории считаться истинными.

Возникнув в Древней Греции, термин «аксиома» впервые встречается у Аристотеля, а затем через труды последователей и комментаторов Евклида прочно входит в геометрию. В средние века господство аристотелевской философии обусловило его проникновение в другие области науки, а через неё и в обыденную жизнь. Аксиомой стали называть такое общее положение, которое, будучи совершенно очевидным, не нуждается в доказательстве. Природу этой очевидности видели, следуя взглядам, идущим ещё от Платона, в прирождённости человеку таких основных истин как математические аксиомы. Учение И. Канта об априорности последних, т. е. о том, что они предшествуют всякому опыту и не зависят от него, было кульминацией таких взглядов на аксиомы. Первым крупным ударом по взгляду на аксиомы как на вечные и непреложные "априорные" истины явилось построение Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии.

Критикуя взгляды Гегеля на логические аксиомы (на фигуры аристотелевских силлогизмов), В. И. Ленин писал: "...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом" ("Философские тетради", 1969, с. 172). Именно в обусловленности многовековым человеческим опытом, практикой, включая сюда также и эксперимент, и опыт развития науки, - причина очевидности аксиом, рассматриваемых как истины, не нуждающиеся в доказательстве.

Вместе с тем крушение взгляда на аксиомы как на "априорные" истины привело к раздвоению понятия аксиома. Всё возрастающая в связи с запросами практики необходимость экспериментировать в области построения новых теорий, заменять одну аксиому другой, а также их относительность, зависимость от ранее встречающихся конкретных условий опыта и уровня развития науки, приводящая к невозможности выбрать раз навсегда и навечно в качестве аксиомы такие положения, которые будут истинны абсолютно во всех условиях, - всё это обусловило появление понятия аксиомы в смысле, несколько отличном от традиционного. Понятие аксиомы в этом смысле зависит от того, построение какой теории рассматривается и как оно проводится. Аксиомой данной теории при этом называются просто те предложения этой теории, которые при данном построении её как дедуктивной теории принимаются за исходные, притом совершенно независимо от того, сколь они просты и очевидны. Более того, уже из опыта, например, построения различных неевклидовых геометрий и их последующего истолкования и практического использования стала ясной невозможность при построении (или аксиоматизации) той или иной теории каждый раз требовать заранее истинности её аксиом.

С созданием развитого аппарата математической логики связано дальнейшее развитие понятия аксиомы. В формальном исчислении аксиома является уже не предположением некоторой содержательной научной теории, а просто одной из тех формул, из которых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нём формулы ("теоремы" этого исчисления). См. также Аксиоматический метод и лит. при этой статье.

А.В. Кузнецов.

Использованы материалы Большой советской энциклопедии в 30 т. Гл. ред. А.М. Прохоров. Изд. 3-е. Т. 1. А – Ангоб. – М., Советская энциклопедия. – 1969. – 608 с.