Логика высказываний (НФЭ, 2010)

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика – раздел логики символической, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. При этом в отличие от логики предикатов внутренняя структура простых высказываний не рассматривается, а учитывается лишь, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные. Под высказыванием понимается то, что выражается повествовательным предложением. Поэтому логику высказываний некоторые авторы называют также «логикой предложений».

В естественном языке существует много способов образования сложных высказываний из простых. Обычно выбирают пять общеизвестных грамматических связок (союзов): «не», «и», «или», «если..., то» и «если..., и только если». Процесс символизации языка логики высказываний состоит в следующем. Элементарные высказывания заменяются пропозициональными переменными p, q, r,... с индексами или без них; указанным выше грамматическим связкам ставятся в соответствие (с близким смыслом) логические связки, которые получают соответственно следующие обозначения и названия:  (отрицание), ∧ или & (конъюнкция), ∨ (дизъюнкция), ⊃ (импликация) и ≡ (эквиваленция); и, наконец, используются скобки (,) для того, чтобы можно было по-разному группировать высказывания и этим определять порядок выполнения операций. Отрицание называется одноместной связкой, а остальные четыре – двухместными связками. Выражением языка логики высказываний называют любую последовательность указанных выше символов. Некоторые из этих выражений объявляются правильно построенными. Их называют формулами. Формулы определяются следующими правилами, где буквы А, В... представляют произвольные высказывания: (1) всякая пропозициональная переменная есть формула; (2) если А и В – формулы, то А), (А ∧ В), (Α ∨ В), (А ⊃ В), (Α ≡ В) тоже формулы; (3) никакие другие соединения символов не являются формулами. Примерами формул являются p, q, (p ∨ q). Внешние скобки при записи формул обычно опускают, а связки (по определению) различают по «силе связывания». Напр., знак отрицания  связывает сильнее, чем двухместные связки. Таким образом, правила задают эффективный способ распознавания, является ли выражение логики высказываний формулой.

Затем делают два основных допущения, на которых основывается семантика логики высказываний: (I) Каждое простое высказывание является или только истинным, или только ложным (принцип двузначности). «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания и обозначаются соответственно И и Л, или 1 и 0. (II) Истинностное значение сложного высказывания определяется только истинностными значениями составляющих его простых высказываний. Это означает, что логические связки (их называют также пропозициональные связки) являются истинностными функциями.

Удобным способом задания истинностных функций является табличный, где слева указываются все возможные приписывания значений аргументам (пропозициональным переменным), а справа – значения самой функции:

 

p	p
И	Л
Л	И

 

p	q	p∧q	p∨q	p⊃q	p≡q
И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л
Л	Л	Л	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	И	И

 

 

Приведенные выше таблицы называются истинностными таблицами, а определяемые ими пропозициональные связки – классическими связками. Легко определить, сколько имеется различных классических связок. Число различных строк в таблице длины m равно 2m и на каждой из них значение функции можно задать двумя способами: И или Л. Поэтому число функций двузначной логики, зависящих от m аргументов, составляет 2 в степени 2m. Отсюда, напр., число одноместных связок равно 4, а число двухместных связок равно 16.

Каждая формула задает некоторую истинностную функцию, которая графически может быть представлена истинностной таблицей, содержащей 2m строк, если в формуле имеется m различных пропозициональных переменных. При этом формула может быть такой, что на каждой строке она принимает только одно значение, равное И, или только одно значение, равное Л. В первом случае она называется тавтологией (тождественно истинным высказыванием), а во втором – противоречием (тождественно ложным высказыванием). В формальной логике тавтологии играют важную роль. Они служат для записи ее законов (Закон логический), так как тавтологии являются всегда истинными высказываниями только в силу своей символической формы, независимо от содержания входящих в них исходных высказываний. Легко установить, что формулы вида А ⊃ A, A ∨ A,  (А ∧ А) являются тавтологиями. Законы, выражаемые этими формулами, называются соответственно законом тождества, законом исключенного третьего и законом непротиворечия.

Исключительно важное свойство истинностных таблиц состоит в следующем: они дают эффективную процедуру для решения вопроса о том, является ли данная пропозициональная формула тавтологией. Указанная процедура называется разрешающей процедурой и отсюда следует, что развиваемая здесь логика высказываний является разрешимой логикой (см. Разрешения проблема). Вот некоторые общие факты о тавтологиях, настолько общие, что они называются правилами логики высказываний:

1. Правило заключения (modus ponens). Если А и A⊃В тавтологии, то В тавтология.

2.  Правило подстановки. Если А(р) есть тавтология и В – формула, то А(В) тоже тавтология, где В замещает каждое вхождение переменной p в формуле А, т.е. подстановка в тавтологию приводит к тавтологии. Уже отсюда следует, что имеется бесконечное множество тавтологий.

3. Правило замены. Формулы А и В называют эквивалентными, если формула А≡В есть тавтология. Очевидно, что если формулы А и В эквивалентны, то они равны как истинностные функции, т.е. принимают одинаковые истинностные значения. Тогда, если А≡В есть тавтология, то С(А) ≡ С(В) тоже тавтология, где С(А) – формула, содержащая некоторую формулу А в качестве своей составной части, и С(В) – формула, полученная из С(А) заменой этой составляющей А на формулу В.

Из последнего правила следует, что можно преобразовывать формулы, получая другие, им эквивалентные, на более простые (содержащие меньше пропозициональных связок и переменных). Можно теперь любую формулу привести к какому-либо каноническому виду и этим решать определенного рода задачи. Более того, некоторые эквиваленции выражают основные свойства пропозициональных связок. Напр., эквиваленции (А∧В) ≡ (В∧А) и (Α∨В) ≡ (Α∨В) выражают коммутативный закон конъюнкции и соответственно дизъюнкции. Все эти вопросы (и другие) изучает алгебра логики, основы которой заложены в работах Дж.Буля (1847, 1854) и А.де Моргана (1847).

Отметим некоторые эквиваленции, указывающие на взаимовыразимость одних связок через другие: А∧В ≡ (Α∨Β), А∨В ≡ (А∧В), А ⊃ В ≡ А∨В, (А ≡ В) ≡ (А ⊃ В) ∧ (В ⊃ А). Система пропозициональных связок M называется полной, если всякая формула эквивалентна некоторой формуле, в которую входят только связки из системы М, т.е. посредством такой системы можно выразить все истинностные функции. Так, системы связок {, ∧, ∨), {, ∧}, {, ∨} и {, ⊃} являются полными. Это значит, что мы можем строить логику высказываний на основе любой из указанных систем связок. Оказывается, полной может быть система, состоящая только из одной связки |, которая называется «штрих Шеффера»: высказывание ρ | q истинно тогда и только тогда, когда неверно, что p и q оба истинны. Достаточность связки | следует из тавтологий А ≡ А|А, A∨В ≡ (A|A)|(B|B).

Наряду с понятием тавтологии фундаментальным для логики высказываний является понятие логического следования (см. Следование логическое), поскольку одной из главных задач логики является устанавливать, что из чего следует, и тем самым указывать, какие высказывания являются теоремами при заданных условиях. Всякую теорему можно записать в виде импликации и т.о. выделить ее условие и заключение. Говорят, В логически следует из А или является логическим следствием из А, и пишут А | = В, если в таблицах истинности для А и В формула В имеет значение И во всех тех строках, где А имеет значение И. Отсюда вытекает, что А | = В тогда и только тогда, когда А ⊃ В есть тавтология. Если формула А тавтология, то иногда пишут | = А. Приведенное определение логического следования без труда расширяется на некоторую систему формул (систему посылок) А1,..., Аn, которая обозначается посредством Г, и тогда пишут Г | = В. Примером логического следования (вывода) из посылок является уже упомянутое правило modus ponens. Выводимость В из высказываний А и А ⊃ В следует из того, что формула (А∧(Α ⊃ В)) ⊃ В является тавтологией. Отметим также, что в силу таблиц истинности для связки импликации получаем, что тождественно истинная формула логически следует из любой системы формул. А из того, что имеется разрешающая процедура для тавтологий, получаем, что проблема выводимости произвольной формулы В из заданной системы посылок также разрешима.

Если определено понятие тавтологии и определено семантическое понятие логического следования (как это сделано выше), то говорят, что дано семантическое представление логики высказываний, а сама логика высказываний зачастую отождествляется с множеством тавтологий или с самим отношением логического следования. Однако такое представление ставит серьезную проблему: как обозреть все тавтологии, которых бесконечное множество? Для решения этой проблемы нужно перейти к синтаксическому представлению логики высказываний.

Формальный (символический) язык логики высказываний и понятие формулы остаются прежними. Но теперь из всего множества тавтологий выбирают некоторое их конечное (и, вообще говоря, определяемые неоднозначно) подмножество, элементы которого называются аксиомами. Напр.: l. p ⊃ (q ⊃ p). 2. (p ⊃ (q ⊃ r)) ⊃ ((р ⊃ q) ⊃ (p ⊃ r)), 3. p ⊃ (p∨q), 4. q ⊃ (p∨q), 5. (p ⊃ r) ⊃ ((q ⊃ r) ⊃ ((p∨q) ⊃ r)), 6. (p∧q) ⊃ p, 7. (p∧q) ⊃ q, 8. (p ⊃ q) ⊃ ((p ⊃ r) ⊃ (p ⊃ (q∧r))), 9. (p ⊃ q) ⊃ (q ⊃ p), 10. p ⊃ (p ⊃ q), 11. p∨p.

Т.о., в отличие от табличного определение логических связок ,∧,∨,⊃ задается аксиоматически. Затем с помощью уже известных правил, но чисто формально осуществляется вывод – переход от высказывания или системы высказываний к высказыванию: из А и А⊃В следует В (правило заключения); из А(p) следует А(В) (подстановка). Так, заданную логику высказываний обозначим посредством С2 и назовем классической.

Каждая аксиоматическая система, которая использует правило подстановки, может быть переформулирована в виде системы аксиомных схем, где вместо пропозициональных переменных используются символы произвольных высказываний (т.н. метапеременные). В этом случае каждая аксиомная схема представляет бесконечное множество аксиом и тогда правило подстановки оказывается излишним.

Логическое исчисление, заданное посредством некоторого множества аксиом и некоторого множества правил вывода, называется исчислением гильбертовского типа. Выводом в нем называется всякая последовательность А1,..., Аn формул такая, что для любого i формула Аi, есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула А называется теоремой, если существует вывод, в котором последней формулой является А; такой вывод называется выводом формулы А.Запись |– А служит сокращением утверждения «А есть теорема». Если формула А выводима из некоторого множества Г исходных формул, то тогда запись принимает вид Г |– А (подробнее см. Вывод логический).

Исходя из синтаксического представления логики высказываний, последняя зачастую отождествляется с множеством теорем или, что более принято, с отношением выводимости. Итак, при семантическом подходе формулы понимаются содержательно (как функции на множестве из двух элементов И, Л), а при синтаксическом подходе формула – это определенный набор символов и различаются только теоремы и нетеоремы. Однако, несмотря на такое различие, оба подхода к построению логики высказываний по существу совпадают и, как говорят, являются адекватными. Это значит, что совпадают понятия логического следования и понятия вывода. Рассмотрим следующую примечательную теорему, которая иногда называется теоремой адекватности: для всех А, |– А тогда и только тогда, когда |= А.

Доказательство в одну сторону, а именно: для всех А, если |–Α, то |= А носит название теоремы о корректности. Это минимальное условие, которое мы требуем от логического исчисления и которое состоит в том, что представленная нами семантика корректна для выбранной аксиоматизации. Для доказательства теоремы нужно проверить, во-первых, что все аксиомы (1)–(11) являются тавтологиями, что легко устанавливается непосредственной проверкой с помощью истинностных таблиц, и, во-вторых, что правила вывода выбраны т.о., что они сохраняют тавтологичность. Поэтому все формулы последовательности, образующей доказательство какой-либо теоремы исчисления С2, в том числе и сама доказуемая теорема, являются тавтологиями. Из этой теоремы следует важнейшее свойство нашего исчисления высказываний С2: в С2 формулы А и А одновременно недоказуемы, т.е. исчисление высказываний С2 непротиворечиво. Ели бы это было не так, то (с использованием аксиомы (10) и двойным применением modus ponens) в С2 была бы доказуема любая формула В. В силу этого противоречивая логика высказываний никакой ценности не представляет. В ней истина и ложь неразличимы и поэтому любая теорема одновременно истинна и ложна.

Имеет место и обратное утверждение о том, каждая тавтология доказуема, т. e для всех А, если |= А, то |– А. Доказательство этой теоремы не столь тривиально и носит название теоремы о полноте исчисления высказываний относительно предложенной семантики. По существу здесь утверждается, что логических средств, т.е. аксиом и правил вывода, исчисления высказываний С2 вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Таким образом, поставленная цель достигнута: используя минимальные средства, можно обозреть все множество тавтологий.

Имеется много различных аксиоматизаций С2, в том числе состоящих из одной аксиомы и содержащих только одну связку (штрих Шеффера). Понятно, что чем меньше аксиом, тем сложнее доказательства. И вообще, в гильбертовских исчислениях доказательство теорем и сам поиск вывода весьма громоздок. Поэтому используются другие формулировки исчисления, более или менее приближенные к естественным рассуждениям, такие, как исчисление секвенций, исчисление натурального вывода и др. Но соотношение между семантикой и синтаксисом здесь не столь прозрачно.

Первая аксиоматизация классической логики С2 была предпринята Г.Фреге (1879). Однако в терминах современного символического языка аксиоматизация С2 появилась в «Prinсіріа Mathematica» А.Уайтхеда и Б.Рассела (1910–13). В обеих работах вопрос о полноте просто не возникал. Их целью было показать, что вся логика, а в действительности вся математика может быть развита внутри их системы. Первая публикация доказательства полноты принадлежит Э.Посту (1921), который исходил из системы Уайтхеда и Рассела. Еще ранее это было сделано П.Бернайсом. В обоих случаях использовались двузначные истинностные таблицы (приведенные выше) для доказательства теоремы адекватности. В этом случае говорят еще, что эти таблицы являются характеристическими для С2.

Теперь можно перейти к характеризации того, что называется классической логикой высказываний: (а) С2 основана на принципе двузначности (бивалентности). В последнее время большое развитие получили так называемые «бивалентные семантики», не только для С2; (b) двузначные истинностные таблицы являются характеристическими. В этом смысле классическая логика высказываний является минимальной; (с) классическая логика высказываний является максимальной в том смысле, что она не имеет расширений: всякое добавление к ней в качестве аксиомы к.-л. формулы, не выводимой в ней, делает ее противоречивой; наконец, (d) классическая логика высказываний имеет наиболее простую семантику, которую можно только изобрести. Все это говорит о классической логике высказываний как уникальном явлении среди всего множества логик (см. Неклассические логики).

Если в приведеной аксиоматизации С2 отбросить последнюю аксиому (исключенного третьего закон), то получим аксиоматизацию пропозициональной интуиционистской логики. Оказывается, она имеет континуум расширений (В.Л.Янков, 1968) и никакие конечнозначные истинностные таблицы не являются для нее характеристическими (К.Гёдель, 1932). Есть логики, которые имеют только одно расширение, т.е. саму С2.

Что касается множества логик, то результат Янкова говорит о том, что существует континуум различных пропозициональных исчислений только определенного класса, т.е. таких логик, которые включают интуиционистскую логику (такие логики называются суперинтуиционистскими или промежуточными). Более того, в этом классе существует бесконечное множество логик, не имеющих конечной аксиоматизации, бесконечное множество неразрешимых логик, а также существуют конечнозначные логики с произвольным числом истинностных значений.

Стоит отметить широкое применение алгебраических методов для решения различных задач логики высказываний. Это становится возможным прежде всего с истолкованием логики высказываний как некоторой структуры (в смысле алгебраической «теории структур»). Так, дистрибутивная структура с дополнениями (алгебры Буля) соответствует классической логике высказываний (см. Алгебра логики), а импликативная структура, где импликация является некоторым аналогом деления, если конъюнкция трактуется как умножение (псевдобулевы алгебры или алгебры Гейтинга), соответствует интуиционистской логике высказываний. Заметим, что в основе приложений булевой алгебры к логике лежит интерпретация элементов булевой алгебры как высказываний.

В заключение обратим внимание на применение классической логики высказываний для анализа и синтеза релейно-контактных схем (К.Шеннон, 1938 и В.И.Шестаков, 1941). В автоматическом управлении и при эксплуатации вычислительных машин приходится иметь дело с релейно-контактными схемами, содержащими сотни и тысячи реле, полупроводников и магнитных элементов. Описание и конструирование таких схем весьма непростое дело. Оказалось, что на помощь может прийти логика высказываний. Каждой схеме ставится в соответствие определенная ее формула в языке {, ∧, ∨) и каждая формула реализуется с помощью некоторой схемы. Изучая соответствующую формулу, можно выявить возможности заданной схемы и упростить ее (решение подобного рода задач называется анализом схемы). Появляется возможность построить схему, заранее описав с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять (синтезирование схемы). Остается только добавить, что именно классическая логика высказываний лежит в основе проектирования микросхем для современной цифровой электронной техники, в том числе и для компьютеров, хотя в последнее время ведутся подобные работы, основанные на других логиках – многозначных, нечетких, паранепротиворечивых.

А.С. Карпенко

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. II, Е – М, с. 415-418.

Литература:

Клини С.К. Введение в математику. М., 1957;

Чёрч А. Введение в математическую логику, т. I. М., 1960;

Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1973;

Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1984;

Карпенко A.C. Классификация пропозициональных логик. – В кн.: Логические исследования, вып. 4. М., 1997;

Яглом И.М. Булева структура и ее модели. М., 1980;

Янков В.А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений. – В кн.: Доклады Академии наук СССР, 1968, т. 181, № 1;

Логика высказываний (Яновская С.А.). – В кн.: Философская энциклопедия, т. 3. М., 1964;

Epstein R.L. The semantic foundations of logic, vol. 1: Propositional logic. Dordrecht, 1990;

From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic 1879–1931, Harvard University Press, 1967, p. 264–283.