Теория типов (Кузнецов)

ТЕОРИЯ ТИПОВ - теория, созданная Б. Расселом и А.Н. Уайтхедом на пути построения такой логической системы, которая обеспечит развитие математики, свободной от парадоксов, в частности тех, которые были обнаружены в «наивной» теории множеств Кантора. Т.т., согласно замыслу ее создателей, должна была лежать в основании программы обоснования математики, вошедшей в историю под названием логицизма.

Рассел считал, что все логические парадоксы, а также и все парадоксы теории множеств сводятся к парадоксу «лжец». Поэтому Т.т. строится таким образом, чтобы исключить возможность образования суждений, оборачивающихся на самих себя. Для этого все логические высказывания делятся на классы в соответствии с областью определения. К первому классу относятся объекты или индивидуумы. Индивидуумы имеют тип 0. Любые утверждения о свойствах индивидуумов — тип 1. Утверждения о свойствах свойств индивидуумов — тип 2 и т.д. При этом каждое утверждение должно принадлежать более высокому типу, чем те, о которых в нем что-то утверждается. Таким образом, каждый предикат может относиться лишь к одному определенному типу и может быть осмысленно применен лишь к объектам нижележащего типа. На языке пропозициональных функций это означает, что ни один из аргументов пропозициональной функции не может определяться через саму функцию.

Легко убедиться, что Т.т. позволяет избежать все известные парадоксы теории множеств. Парадокс Кантора, например (см. Парадоксы в математике), невозможен в Т.т. просто потому, что само понятие множества всех множеств является в ее рамках незаконным. С помощью несложных рассуждений можно также показать невозможность и других парадоксов теории множеств. Это, однако, не дает гарантии свободы от любых парадоксов в теориях, логика построений высказываний в которых опирается на Т.т. Кроме того, дальнейшие построения, основанные на Т.т., проведенные в рамках программы логицизма Расселом и Уайтхедом, привели к возникновению существенных проблем. Например, чрезвычайно сложным становится понятие равенства. Дело в том, что в основополагающей работе Рассела и Уайгхеда «Principia Mathematica» два предмета А и В называются равными, если любое высказывание или любая пропозициональная функция, применимая к А (истинная для А) применима и к В (истинна для В) и наоборот. Но то обстоятельство, что различные высказывания могут принадлежать, вообще говоря, к различным типам, чрезвычайно осложняет проблему установления равенства. Аналогичные проблемы возникают и с понятием числа, поскольку система действительных чисел в рамках Т.т. состоит из объектов различных классов. Последнее обстоятельство приводит к необходимости формулировки каждой теоремы о действительных числах для каждого типа в отдельности. Еще большие проблемы возникают в связи с теоремой о верхней грани ограниченного множества вещественных чисел. Аксиома сводимости, введенная для преодоления указанных трудностей, ставит под вопрос чисто логическую природу Т.т., а также порождает дополнительные вопросы относительно отсутствия противоречий в теориях, строящихся на ее основе (см. Логицизм).

Литература:

Whitehead A.N., Russell В. Principia Mathematica. 3 vols. N.Y., 1910-1913;

Беляев E.A., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М., 1981.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 586-587.