Теория множеств
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - математическая теория о свойствах множеств, главным образом бесконечных, абстрагирующаяся от свойств элементов, составляющих эти множества. Различают «наивную» и аксиоматические Т. м. Само понятие множества относится к числу неопределяемых первоначальных математических понятий и может бьггь пояснено лишь на примерах. Так, можно говорить о множестве деревьев в лесу или о множестве бросаний симметричной монеты. Для задания множества достаточно указать характеристическое свойство элементов данного множества, которым обладают все элементы этого множества, и только они. В случае, если характеристическим свойством, которым мы хотим определить некое множество, не обладает ни один элемент, в Т.м. говорят о пустом множестве. Если каждый элемент множества X является элементом множества Y, то множество X называется подмножеством множества Y.
«Наивная» Т.м. была создана Г. Кантором, продолжившим исследования математиков XIX в., ставивших своей целью разработку оснований математического анализа. В работах таких математиков, как Р. Дедекинд, Б. Больцано и др., рассматривались различные числовые множества, а также множества функций и ставились проблемы количественного сравнения бесконечных множеств. В то время как теория пределов Коши изгнала понятие актуальной бесконечности из анализа, Кантор рассматривал «завершенные» бесконечные совокупности одновременно существующих объектов. При этом он считал возможным применение без каких-либо ограничений к бесконечным множествам законов классической логики. Сам Кантор не раз отмечал, что пришел к идее актуальной бесконечности почти против своей воли, порывая с ценными для него традициями. Занимаясь изучением тригонометрических рядов, он обнаружил, что понятия предельной точки и иррациональных чисел требуют использования совершенно новых средств исследования, а именно общего понятия и классификации бесконечных множеств.
Первым шагом, который сделал Кантор в создании своей теории, было определение понятия мощности, или кардинального числа данного множества. Два множества называются эквивалентными или равномощными, если существует взаимно-однозначное соответствие, сопоставляющее каждому элементу одного множества некоторый (единственный) элемент другого множества. Все эквивалентные множества обладают тем общим свойством, которое можно выделить с помощью абстракции отождествления и которое Кантор назвал мощностью, или кардинальным числом множества. Почти четверть века Кантор посвятил систематическому изучению бесконечных множеств с точки зрения установления соответствия между ними. Так, он доказал, что множества целых, рациональных и алгебраических множеств равномощны множеству натуральных чисел, которое обычно называют счетным. Он также установил, что мощность всех подмножеств натуральных чисел несчетна и равна мощности всех действительных чисел. Способ, с помощью которого Кантору удалось доказать существование несчетных множеств, носит название диагонального метода, который является одним из наиболее сильных и известных методов Т.м. Мощность действительных чисел называют мощностью континуума. В 1878 г. Кантор высказал гипотезу о том, что не существует множества, мощность которого была бы промежуточной между мощностью счетного множества и мощностью континуума (знаменитая континуум-гипотеза). Кантор не ограничился простым сравнением бесконечных множеств, а создал трансфинитную арифметику — аналог арифметики конечных множеств. Помимо кардинальных чисел Кантором были введены трансфинитные ординалы (или порядковые числа), которые базируются на понятии упорядоченного множества. Благодаря крайней общности своих понятий и методов Т.м. вскоре проникла во все разделы математического знания. В конце XIX в. многим математикам казалось, что Т.м. Кантора обеспечивает окончательный, прочный фундамент для всей классической математики. По образному выражению Д. Гильберта, в результате гигантской совместной работы Фреге, Дедекинда и Кантора бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа.
Однако, как вскоре оказалось, «наивная» Т.м. не могла служить фундаментом классической математики вследствие обнаруженных парадоксов (см. Парадоксы в математике). Один из таких парадоксов обнаружил сам Кантор в 1895 г. Наиболее радикальную позицию по отношению к Т.м. заняли интуиционисты во главе с Брауэром (см. Интуиционизм), которые призывали вообще отказаться от концепции актуальной бесконечности. Сторонники Т.м., напротив, пошли по пути аксиоматизации этой науки, предложив ограничить употребление понятия множества в математике рамками определенных аксиоматических систем, с помощью которых удается избежать образования слишком обширных множеств, использование которых ведет к парадоксам. В настоящее время существует большое количество аксиоматических Т.м., по своему содержанию не многим отличающихся от наиболее признанной системы аксиом Цермело-Френкеля (ZF).
Литература:
Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985;
Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966;
Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1974.
Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 584-585.