Символическая логика

СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, математическая логика, теоретическая логика — область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин «С.л.» был, по-видимому, впервые применен Дж. Венном в 1880 г.

Уже Аристотель широко применял буквенные обозначения для переменных в своих логических работах. Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в XVII в. Г. Лейбницем.

С другой стороны, возникновение и развитие С.л. связано с работами Г. Фреге (1848-1925) и Ч.С. Пирса (1839-1914). После того как Фреге в 1879 г. и Пирс в 1885 г. ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем С.л. в ее современном понимании. Основы современной логической символики были разработаны итальянским математиком Дж. Пеано (1858— 1932), чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А.Н. Уайтхедом и Б. Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematica» (1910-1913), а затем одобрена и самим Д. Гильбертом. Таким образом, был введен в употребление во всем мире символический язык, где появля-ются логические знаки отрицания конъюнкции • , дизъюнкции v, импликации ⊃, кванторов всеобщности ∀ и существования ∃.

Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логическое исчисление, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке XIX в. возникла потребность в Сл. В первую очередь, развитие С.л. было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны.

Основным стимулом развития С.л. в начале XX в. была проблема оснований математики в связи с обнаружением теоретико-множественных парадоксов. Ответом на это, т.е. на обнаружение противоречивости теории множеств, стало возникновение четырех направлений в основаниях математики: логицизм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество), интуиционизм (нужна новая логика), теретико-множественный платонизм в виде аксиоматической теории множеств ZF (вводятся ограничения на образование множеств) и формализм (программа Гильберта). Обширным полем деятельности для современной С.л. является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула А из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости явилось основным стимулом для создания теории алгорифмов. Важное место в современной С.л. занимает также теория моделей, изучающая фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей — с другой.

Совершенно очевидно, что впечатляющие результаты, полученные средствами С.л., и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой Сл. Однако развитие современной логики показывает, что термин «С.л.» гораздо шире термина «математическая логика», где под последней понимается изучение тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным дело, и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к С.л. и не относящиеся к С.л. порой просто невозможно. Об этом говорят современные исследования в области неклассических логик и философской логики.

Обратим внимание на особенное свойство С.л., которое заключается в том, что Сл. является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь — это результаты Гёделя (1930) о непротиворечивости и полноте чистой логики, т.е. логики предикатов. Поэтому последняя, являясь весьма богатой по своим выразительным средствам, и лежит в основе большинства теорий. Но средствами этой же логики доказано, что любая достаточно богатая теория, включающая всего лишь арифметику или даже часть ее, неполна, т.е. в ней есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (первая теорема Гёделя о неполноте, 1931). Более того, неполнота арифметики принципиальна, т.е. подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость. Итог этой рефлексии сокрушителен: поставлен вопрос о самом статусе математики: может, она основывается на глубоко скрытых противоречиях? Но более того, рефлексия чистой логики над собой достигла к концу XX в. критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики, вопрос о том, что такое логика?

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 498-499.