Логицизм (Кузнецов, 2007)

ЛОГИЦИЗМ — философия математики, в основе которой лежит представление о логической природе математических понятий и суждений. Основной логицистский тезис сводится к тому, что математика не содержит в себе ничего, кроме комбинаторного усложнения понятий и принципов, содержащихся в логике. Математика, по мнению Рассела, есть только более зрелая логика. Л. принимает в качестве исходных следующие два положения: а) Каждое математическое понятие может быть определено в понятиях логики; б) Каждое математическое утверждение может быть представлено в форме общезначимого суждения в непротиворечивом логическом исчислении.

Л. является одной из программ обоснования математики, которая стремится обосновать надежность математических теорий через их редукцию к аксиоматизированным теориям логики, надежность которых предполагается гарантированной самим статусом логики, ее местом в системе знания и связью _ логических принципов с универсальными онтологическими категориями.

Хотя логицистские идеи были с полной определенностью высказаны еще Лейбницем, реализация их в плане выработки приемлемых способов редукции была начата только в XIX в. в работах немецкого математика и философа Г. Фреге. Заслуга Фреге состоит в том, что он дал современную формулировку аксиом исчисления предикатов, продемонстрировав возможность определения в его рамках понятия числа и других начальных понятий арифметики. Эта работа была продолжена Б. Расселом и А. Уайтхедом, которые в своем фундаментальном трехтомном труде «Principia Mathematics» указали способ логического выражения аксиом для всех основных теорий современной им математики. Значительный вклад в развитие идей Л. внесли Д. Рамсей, Р. Карнап, В. Куайн, А. Черч и другие логики и философы XX в.

Состав логического знания, которое рассматривалось в качестве безусловного основания математики, не оставался постоянным. Если Фреге рассчитывал свести необходимое логическое знание к исчислению предикатов первого порядка с равенством, то Рассел и Уайтхед расширили понятие логики за счет введения логики отношений и исчисления предикатов высших порядков, подчиняющихся ограничениям теории типов. Исследования в рамках Л. имели своим

результатом существенную коррекцию первоначальных установок Л. и в некотором смысле его опровержение. Оказалось, что математика по своему содержанию существенно шире логики и что существуют математические принципы, которые заведомо не могли быть представлены в форме общезначимых логических суждений. К этому типу принципов относятся такие важные для современной математики положения, как аксиома бесконечности и аксиома выбора. Кроме того, как показал К. Гёдель (1931), логика при самом широком ее понимании, принятом Расселом и Уайтхедом, заведомо не полна в отношении математики в том смысле, что она недостаточна для выражения в полном объеме истин арифметики и теорий, более богатых, чем арифметика. В целом, надо сказать, что Л. исторически пришел к своему собственному опровержению. Логицистские исследования однозначно показали, что редукция математики к логике является в принципе невозможной. Этот результат, однако, не исключает важности логицистского направления в методологии математики и логицистской философии в целом для развития оснований математики. Общепризнано, что такие исследования привели к существенному обновлению взглядов на состав логики, к развитию терминологической основы и символической техники в логике и, может быть, самое главное, — к прояснению истинного соотношения между логическими и математическими принципами, о котором не было сколько-нибудь ясного понятия еще в начале века.

В своей философской основе Л. также не бесплоден. Сторонники Л., особенно это относится к Фреге, высказали ряд глубоких идей о связи логики с универсальной онтологией мышления, которые важны для современной философии математики. Этот аспект Л. представляется наиболее важным, хотя до настоящего времени он все еще не получил должного развития.

Литература:

Лейбниц Г.В. Соч. В 4-х т. Т. 3. М., 1984;

Frege G. DieGrundlagenderArithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchungen uber denBegriffderZahl. Breslau, 1884;

Рассел Б. Введение в математическую философию. М., 1996;

Carnap R. The Logicist Foundations of Mathematics. Essays on Russells Philosophy. N.Y., 1970;

Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1967.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 288-289.