Алгебра логики (Кузнецов, 2007)

АЛГЕБРА ЛОГИКИ - один из основных разделов математической логики, основанный на алгебраическом способе представления и решения логических проблем. Современная символическая логика, начало которой было положено исследованиями Г. Лейбница и особенно Дж. Буля, развивалась ими и их непосредственными последователями (У. Джевонс, А. Венн, Э. Шредер, П.С. Порецкий) в форме алгебраических построений. Именно в исследованиях этих ученых впервые был использован термин «А.л.» Однако после работ Г. Фреге логические теории начали строиться в форме исчислений, а А.л. стала рассматриваться как формальная семантика этих исчислений.

В настоящее время многие логические теории имеют в качестве своих моделей соответствующие им алгебры. Так, классической логике высказываний соответствует булева алгебра, в которой анализируются двузначные (булевы) функции. При этом одно из значений трактуется как значение «истина», а другое — как «ложь». Так как эти значения являются характеристиками высказываний, n-аргументные булевы функции можно понимать как операции над n-кой высказываний. При этом исходными операциями булевой алгебры считаются: конъюнкция (&) — соответствует союзу «и» русского языка, дизъюнкция (v) — соответствует союзу «или» и отрицание (¬) — соответствует словосочетанию «неверно, что», а все остальные определяются через них.

В булевой алгебре устанавливаются различные свойства этих операций. Основными свойствами являются:

x&(y&z) ■ (x&y)&z — ассоциативность &;

xv(yvz) ■ (xvy)vz — ассоциативность v;

х&у ■ у&х— коммутативность &;

x v у ■ у v х — коммутативность v;

х&(уvz) ■ (x&y)v(x&z) — дистрибутивность &;

относительно v;

xv(y&z) ■ (xvy)&(xvz) - дистрибутивность v

относительно &;

(x&¬x)vy ■ y - закон противоречия;

(x v ¬ х)&у ■ у - закон исключенного третьего.

Все остальные свойства могут быть получены из указанных как производные.

В булевой алгебре вводятся также канонические способы представления функций с помощью аналитических выражений (различные виды конъюнктивных и дизъюнктивных нормальных форм), решается вопрос о минимизации таких выражений, устанавливаются критерии логического следования одного аналитического выражения из других, а также решается целый ряд иных задач. Конечное число значений булевых функций позволяет определить их с помощью так называемых таблиц истинности, что делает возможным табличный (матричный) способ задания классической логики высказываний.

Развитие идей многозначной логики, в которой рассматриваются n-значные и даже бесконечнозначные функции, привело к созданию различных многозначных А.л. В последних высказываниях приписывается не два истинностных значения — истина или ложь, а п различных значений или бесконечное их число.

В современной науке и двузначные и многозначные А.л. не только используются как удобные формальные семантики тех или иных логических исчислений, но и применяются в программировании и в проектировании компьютерных систем.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 7.