Логицизм (Ильичёв, 1983)

ЛОГИЦИЗМ, направление в логико-философских основаниях математики, исходящее из выдвинутого Лейбницем тезиса о «сводимости математики к логике», согласно которому математика изучает так называемые аналитические истины, т. е. утверждения, «истинные во всех возможных мирах». В систематическом виде доктрина логицизма была изложена Фреге в «Основных законах арифметики» («Grundgesetze der Arithmetik», Bd 1—2, 1893—1903), где основное для математики понятие натурального числа сводилось к объёмам понятий, а теоремы арифметики доказывались средствами некоторой логической системы. Эта доктрина была развита затем Расселом, обнаружившим парадокс (противоречие) в системе Фреге и предложившим в совместном с Уайтхедом трёхтомном труде «Principia Mathematica» (1910—1913) так называемую теорию типов, в которой этот (как и другие) парадокс устранялся с помощью специальной иерархии логических понятий. Однако для построения классической математики в «Principia Mathematica» пришлось включить аксиомы, не удовлетворяющие критериям аналитической истинности и характеризующие конкретный «математический мир» и описываемый им мир реальных вещей и событий. С другой стороны, Гёдель показал (1931), что все системы типа «Principia Mathematica» и более сильные (т. е. во всяком случае все системы аксиоматической арифметики и теории множеств) существенно неполны: их средствами нельзя доказать некоторые формулируемые в них содержательно-истинные утверждения. Таким образом, основной тезис логицизма можно считать опровергнутым. Однако работы Рассела и его последователей (например, У. Куайна) способствовали формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и методологических идей и развитию соответствующего формального математического аппарата.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

Литература:

Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А.,Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3.