Силлогистика
СИЛЛОГИСТИКА (от греч. συλλογίζομαι – рассчитываю, считаю) – кванторная теория дедуктивных умозаключений, в которой исследуются логические связи между атрибутивными высказываниями, т.е. высказываниями, в которых утверждается или отрицается наличие у предметов некоторого атрибута. Первый пример силлогистики был построен Аристотелем (384–322 годы до н. э.). Его система явилась не только первой логической теорией, но и одной из первых известных в истории науки теорий вообще.
Уникальное место силлогистики в логике определяется особым влиянием, которое она оказала на разработку философской проблематики. Оставаясь в течение многих веков единственным известным аппаратом дедукции, она во многом предопределяла характер и направленность теоретико-познавательных исследований. Например, такие хорошо известные в истории философии антитезы, как «содержательное и формальное», «дискурсивное и чувственное», «рациональное и иррациональное», «интуитивное и рассудочное», всегда обсуждались с учетом гносеологического материала, фиксированного силлогистикой, которая выступала в качестве конкретного примера одной из сторон указанных противоположностей. Поэтому она была не только теорией дедукции, но и выполняла кардинальную объяснительную функцию при решении гносеологических проблем.
Среди рассматриваемых в силлогистике атрибутивных высказываний различают высказывания о факте наличия или отсутствия у отдельного предмета или нескольких предметов какого-либо свойства (атрибута) и высказывания о характере наличия или отсутствия такого свойства. Первые высказывания называются ассерторическими, вторые – модальными. Иначе говоря, к числу атрибутивных высказываний относят высказывания следующих логических форм:
Всякий α ∗ есть β – общеутвердительное высказывание.
Всякий (Ни один) α ∗ не есть β – общеотрицательное,
Некоторый α ∗ есть β – частноутвердительное,
Некоторый α ∗ не есть β – частноотрицательное,
α ∗ есть β – единичноутвердительное,
α ∗ не есть β – единичноотрицательное,
где ∗ – либо пустое место, либо является одним из модальных операторов – необходимо (□) или возможно (◊). В каждом атрибутивном высказывании имеется два термина: субъект – термин, обозначающий те предметы, о которых в высказывании нечто утверждается или отрицается, и предикат – термин, обозначающий то, что предицируется (утверждается или отрицается) об этих предметах.
В Средние века высказывания первых четырех типов получили специальные обозначения: общеутвердительные стали называться высказываниями типа а (первая буква латинского слова «affirmo» – утверждаю), частноутвердительные стали называться высказываниями типа i (вторая гласная в том же слове), общеотрицательные стали относиться к высказываниям типа е (первая гласная буква в слове «nego» – отрицаю), а частноотрицательные – к высказываниям типа о (вторая гласная в слове «nego»). Эти обозначения оказались удобным средством сокращенного представления в языке ассерторических и модальных высказываний. Пользуясь ими, часто логическую структуру первых четырех типов высказываний выражают следующими соответственно формулами: αaβ, αeβ, αiр, αοβ.
К настоящему времени силлогистика сформировалась как совокупность различных логических систем, которые можно подразделить на классы в зависимости от того, какого типа атрибутивные высказывания содержатся в языке системы, какого типа термины могут являться субъектами и предикатами этих высказываний, а также в зависимости от интерпретации самих атрибутивных высказываний.
Аристотель и средневековые логики рассматривали два типа силлогистических теорий – ассерторическую и модальную. Часто под термином «силлогистика» имеют в виду именно ассерторическую силлогистику. В ее язык входят лишь ассерторические атрибутивные высказывания, в язык же модальной силлогистики входят как ассерторические, так и модальные высказывания.
Силлогистика называется позитивной, если в ней не учитывается внутренняя структура терминов. Иначе говоря, каждый термин (субъект и предикат) трактуется как элементарное выражение, неразложимое на составные части. Если в языке теории содержится единственный термообразующий оператор терминного отрицания, позволяющий построить новый термин, являющийся отрицанием исходного, то такая система относится к негативной силлогистике. При этом с отрицательными терминами, скажем Р´, связываются те предметы из универсума, которые не обладают свойством Р. Этот класс принято называть дополнением к Ρ в универсуме U. Если кроме этого вводятся и другие терминные операторы – сложение (объединение классов) и умножение (пересечение классов), то такая система называется расширенной силлогистикой. Если в системе допускается использование сингулярных терминов, то такая силлогистика называется сингулярной.
В зависимости от характера интерпретации терминов, все силлогистические теории делятся на экзистенциальные и неэкзистенциальные. В первых запрещается использование пустых терминов, во вторых такого ограничения нет.
Описанные выше виды атрибутивных высказываний относятся к числу простых высказываний. Но, применяя к ним логические операции, выражаемые пропозициональными связками, можно из простых высказываний строить сложные силлогистические высказывания. Напр., можно отрицать то или иное высказывание, строить из них конъюнктивные высказывания и т.д.
В каждой силлогистике тем или иным способом задаются условия истинности атрибутивных высказываний. Обычно это делается с помощью так называемых кругов Эйлера (или диаграмм Венна), которые выступают в качестве модельных схем истинности атрибутивных высказываний. Например, в традиционной силлогистике, которая является экзистенциальной системой, термины рассматриваются как знаки таких свойств (классов), которые являются непустыми и неуниверсальными.
Понятие логического следования вводится в силлогистике следующим определением. Пусть А1, А2, ..., Аn, и В будут силлогистическими формулами. Тогда из посылок А1, А2, ..., Аn, логически следует В, если и только если каждая модельная схема, на которой одновременно истинны все посылки А1, А2, ..., Аn, является модельной схемой, на которой истинно В. Наличие логического следования обозначается записью А1, А2, ..., Аn ⊧ В. В частном случае (при следовании формулы из пустого множества посылок) формула В называется общезначимой (законом силлогистики) и пишется ⊧ В. Формула В в этом случае является истинной на любой модельной схеме. На основе этих определений в любой силлогистике устанавливаются соответствующие силлогистические законы и оправдывается принятие тех или иных правил вывода – элементарных умозаключений. Так, в традиционной силлогистике законами будут следующие: Всякий S есть S – закон силлогистического тождества для высказываний типа а, Всякий S есть Ρ & Всякий S не есть Р) – закон контрарного противоречия, (Некоторый S есть Ρ ∨ Некоторый S не есть Р) – закон субконтрарного исключенного третьего и многие другие. Что касается умозаключений, то они распадаются на умозаключения по логическому квадрату, непосредственные и опосредованные умозаключения. К числу непосредственных умозаключений в позитивных силлогистиках относится операция обращения (conversio), а в негативных силлогистиках – превращение (obversio) и различные виды противопоставления (contrapocisio).
В позитивной силлогистике одним из важнейших видов опосредованных умозаключений является простой категорический силлогизм. В нем всегда содержится не более трех терминов – меньший, больший и средний. Меньшим термином является субъект заключения, а большим – тот, который является предикатом заключения. Термин же, являющийся общим для обеих посылок, называется средним. Посылка, содержащая меньший термин, называется меньшей посылкой, а содержащая больший термин – большей. Обычно условливаются помещать большую посылку на первое место, а под ней записывать меньшую посылку. Приняв эти условия, можно все простые категорические силлогизмы разделить по т.н. фигурам. Фигура – это множество простых категорических силлогизмов, имеющих одну и ту же структуру, определяемую расположением среднего термина в посылках. С точностью до порядка посылок выделяют следующие фигуры силлогизма:
Если в фигуре указать тип высказываний, стоящих на местах посылок и заключения, то получим разновидность данной фигуры, называемую модусом фигуры. Те модусы, для которых между посылками и заключением существует отношение логического следования, называются правильными. В традиционной силлогистике имеется 24 правильных модуса. В 1 фигуре: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront; во 2 фигуре: Baroko, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop, Cesaro; в 3 фигуре: Bokardo, Disamis, Datisi, Ferison, Darapti, Felapton; в 4 фигуре: Camenop, Dimaris, Camenes, Fresison, Bramantip, Fesapo. В этих названиях гласные буквы слева направо указывают тип большей, меньшей посылок и заключения.
Для проверки правильности рассуждений, строящихся в форме простого категорического силлогизма, имеется специальный перечень правил. Выполнение каждого правила является необходимым, а всех вместе – достаточным условием, чтобы считать некоторый модус правильным. Эти правила называются общими правилами силлогизма и подразделяются на правила терминов и посылок. Они таковы:
Правила терминов: (1) должна быть посылка, в которой средний термин распределен; (2) если термин распределен в заключении, то он распределен и в посылке.
Правила посылок: (3) должна иметься утвердительная посылка; (4) если утвердительными являются обе посылки, то заключение будет утвердительным высказыванием; (5) если имеется отрицательная посылка, то заключение – отрицательное высказывание.
Другими формами опосредованных умозаключений являются сориты, которые в общем случае представляют собой выводы некоторого силлогистического утверждения из произвольного множества посылок. Вопрос о выводимости в общем случае может быть решен различным образом. Можно, напр., построить аксиоматическую дедуктивную теорию силлогистики и считать, что некоторое опосредованное умозаключение обосновано, если оно доказуемо в данной аксиоматической теории. На такую возможность обратил внимание уже Аристотель. Он взял в качестве исходных положений (аксиом) модусы Barbara, Celarent, Darii и Ferio 1 фигуры, а все остальные модусы сводил к указанным.
При практическом осуществлении некоторого аргументационного процесса обычно не пользуются развернутой формой силлогизма. На самом деле в аргументации обычно используют т.н. энтимемы, т.е. сокращенные формы рассуждения (с пропуском некоторых посылок или заключения). Иногда такие пропуски делаются намеренно, ибо недобросовестному спорщику не всегда бывает выгодно раскрывать подлинные свои цели и намерения, т.е. подлинные теоретические основания аргументации.
Традиционная силлогистика, как указывалось, содержит два ограничения на используемые термины: они не должны быть пустыми и универсальными. В отличие от этого силлогистика, построенная самим Аристотелем, не содержала такого рода ограничений. Его понимание смыслов простых категорических высказываний можно задать посредством их перевода в исчисление предикатов следующим образом:
αaβ → ∀x(α(x)⊃β(x)) & ∃хα(х),
αeβ → ∀x(α(x)⊃ ¬ β(x)),
αiβ → ∃x(α(x) & β(x)),
αοβ → ∃x(α(x) & ¬ β(x))∨ ¬ ∃xα(x),
где знак → – показатель процедуры перевода.
Отметим, что целый ряд соотношений, имевших место в традиционной силлогистике, в аристотелевской логике оказываются неверными. Напр., в аристотелевской логике неверны законы силлогистического тождества ни в форме SaS, ни в форме SiS. В негативной аристотелевской силлогистике остаются в силе лишь превращения от утвердительных высказываний к отрицательным и т.д. В то же время в аристотелевской силлогистике верны все 24 модуса простого категорического силлогизма.
Кроме аристотелевской силлогистики имеются и другие силлогистики, отличающиеся друг от друга условиями истинности атрибутивных высказываний. Хорошо аргументированная система так называемой фундаментальной силлогистики была предложена Г.Лейбницем. Основные идеи, заложенные в ней, неоднократно повторялись различными исследователями: Де Морганом, Ф.Брентано, Ч. Пирсом, Б. Расселом, Д. Гильбертом. В языке логики предикатов лейбницевская интерпретация категорических высказываний выражается следующим образом:
αaβ → ∀x(α(x)⊃β(x)),
αeβ → ∀x(α(x)⊃ ¬ β(x)),
αiβ → ∃x(α(x) & β(x)),
αοβ → ∃x(α(x) & ¬ β(x))
Иная силлогистическая система была детально разработана Б.Больцано. В языке логики предикатов больцановская интерпретация может быть выражена следующим образом:
αaβ → ∀x(α(x)⊃β(x)) & ∃хα(х),
αeβ → ∀x(α(x)⊃ ¬ β(x)) & ∃хα(х),
αiβ → ∃x(α(x) & β(x)),
αοβ → ∃x(α(x) & ¬ β(x))
Интересная силлогистика была разработана Л.Кэрроллом. Она основана на понимании смыслов категорических высказываний, выражаемом в языке логики предикатов следующим образом:
αaβ → ∀x(α(x)⊃β(x)) & ∃хα(х),
αeβ → ∀x(α(x)⊃ ¬ β(x)),
αiβ → ∃x(α(x) & β(x)),
αοβ → ∃x(α(x) & ¬ β(x))
Одним из вариантов расширенной аристотелевской силлогистики является следующая аксиоматическая система:
Α1. γaα & αeβ⊃γaβ´
А2. γiα & αeβ
A3. (α ∩ β)eγ⊃(γ ∩ α)eβ
A4. αe(β ∪ γ) ≡ (αeβ & αeγ),
A5. αe(β ∩ γ)´ ≡ (αeβ´ & αeγ´),
А6. αeα´
A7. αoα´
A8. αaβ⊃αeβ´,
A9. αiβ⊃αaα,
A10. αaβ´´⊃αaβ
По определению вводятся следующие знаки:
(A ≡ B)↔(A⊃B)&(B⊃A),
Α = β↔αeβ´ & βeα´,
0 ↔ α∩α´,
1 ↔ α∪α´,
где знаки «´» «∪» «∩» являются соответственно знаками терминных отрицания, сложения и умножения; «≡» – эквиваленция, «=» равенство двух классов, «О» – пустой термин, «1» – универсальный термин. Данная система расширенной аристотелевской силлогистики представляет собой булеву алгебру (см. Алгебра логики), выраженную в терминах силлогистики.
Для всех указанных систем показана их погружаемость в первопорядковое исчисление предикатов. Для сингулярной расширенной аристотелевской силлогистики показана ее дефинициальная эквивалентность элементарной онтологии Лесневского, т.е. атомной булевой алгебре.
Что касается исследований в области модальных силлогистик, то в настоящее время усилиями философов и логиков построены различные их варианты. Однако до сих пор не удается в полном объеме оправдать дедуктивные принципы модальной силлогистики Аристотеля.
В.А. Бочаров
Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. III, Н – С, с. 529-532.
Литература:
Аристотель. Соч., т. 2. М., 1978;
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959;
Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике, М., 1991;
Thom P. The syllogism, Münch., 1981.