Комбинаторная логика (НФЭ, 2010)
КОМБИНАТОРНАЯ ЛОГИКА – направление в основаниях и философии математики, в котором в качестве основных понятий выбираются: функция (оператор) и операция аппликации (application) – применение (приложение) функции f к аргументу g, пишут: (fg). Функции понимаются теоретико-операторно, бестипово, т.е. допустимы: (gf), (gg), (g(ff)), ((gg)(fg)) и т.д. Выражение вида f(x1, …, xn), является лишь записью для (...((fx1)x2)..хn). Тем самым многоместные функции сводятся к одноместным. Опуская скобки, пишут: fx1x2 … xn вместо х1, ..., хn можно поставить f, получая fff …f. Здесь n≥0 (если n = 0, то f – нульместная функция).
Исходными объектами (сокращенно, по X.Карри, обами) в комбинаторной логике служат константы и переменные (множество переменных может быть пустым). Новые обы строятся из исходных и полученных ранее по правилу: если a и b – обы, то (ab) считается обом. Выделяются три константы, обозначающие индивидуальные функции (комбинаторы): два собственных комбинатора К и S, удовлетворяющих равенствам Kab = а и Sabc = ac(bc), где a, b и с – произвольные обы (скобки в обах восстанавливаются по ассоциации влево) и один дедуктивный комбинатор U как некоторый аналог формальной импликации или оператора функциональности. Эти три комбинатора позволяют заменить любое предложение логико-математических языков комбинацией (обом) из К, S и U и скобок, откуда и название «комбинаторная логика» (введенное Карри). Употребление же переменных вообще может быть исключено, что соответствует первоначальному замыслу М.И.Шейнфинкеля, Карри и А.Чёрча. К примеру, если А комбинатор такой, что Аху = x + у, а С комбинатор такой, что Cfxy = fyx [или в более обычных обозначениях: приложение комбинатора А к аргументам х, у дает x + у; приложение комбинатора С к fху) дает f(yx)], то сумму у + x в этом случае можно выразить как САху. Тождество x + у =у + x выражается при этом в виде Аху = САху. И если (как это делается обычно в математике) трактовать тождественное равенство f(x1, ..., хn) = g(x1 ..., хn) как другое выражение для f = g (т.е. считать, что функции f и g, относящие обе одни и те же объекты к одним и тем же значениям аргументов, отождествляются нами), то другим выражением для тождества х + у = у + х будет формула А = CA, не содержащая переменных.
Создателем комбинаторной логики (1920) является московский математик Моисей Ильич Шейнфинкель (1887–1942). Он ввел комбинаторы К, S и U, сформулировал и обосновал, используя указанные равенства для К и S, принцип комбинаторной полноты, более общий, чем канторовское неограниченное теоретико-множественное свертывание. Шейнфинкель предложил один из первых способов уточнения интуитивного понятия алгоритма, определив по существу комбинаторные алгоритмы как вариант реализации вычислительной (алгоритмической) части дискретно-комбинаторной программы Лейбница.
Независимо от Шейнфинкеля американские математики Карри и Чёрч получили аналогичные результаты. В их трудах комбинаторные алгоритмы представлены дедуктивно в виде доказуемо непротиворечивых исчислений негильбертовского типа. Таковы, в частности, ламбда-исчисления (λ-исчисления) Чёрча, эквивалентные чистой (без логических законов) комбинаторной логике Шейнфинкеля – Карри. Исчисления Шейнфинкеля – Чёрча – Карри оказались удачными теориями вычислений. Они дали толчок развитию теории рекурсий, различных видов алгоритмов, а в последнее время и информатики. Известны применения комбинаторной логики в доказательств теории, в семантике языков программирования, алгебре, топологии, теории категорий и др. разделах современного знания.
Бестиповые исчисления Шейнфинкеля – Чёрча – Карри (для краткости: ШЧК) были введены прежде всего в расчете на то, что их дедуктивные расширения станут основаниями математики и других наук. Пытаясь реализовать синтаксически дедуктивный комбинатор U, Карри и Чёрч построили также логико-математические исчисления гильбертовского типа, которые, однако, оказались противоречивыми: парадокс Клини – Россера (1936), парадокс Карри (1941). Отметим, что в парадоксе Карри из логических средств используются только имшшкативные, а правило modus ponens выступает как единственный логический источник противоречивости (см. Парадокс логический). Поскольку все известные дедуктивные системы гильбертовского типа либо бедны выразительными возможностями, либо противоречивы, обращаются к идее ступенчатых расширений. Ступенчатые системы комбинаторной логики строятся на основе комбинаторных алгоритмов путем последовательных расширений бестиповых непротиворечивых исчислений ШЧК, опираясь на принципы дедуктивной полноты – правила введения операторов (прежде всего логических) в сукцедент (в заключение выводимостей) и в антецедент (в посылки выводимостей).
Такая трактовка выводимостей позволила ограничить иерархии двумя ярусами. Первый – исчисления ШЧК. Второй вводится как расширение первого на базе исчисления секвенций – классической логики предикатов первого порядка, распространенной на обы комбинаторной логики, без постулируемого (в силу известного результата Г.Генцена 1934 г.) правила сечения. Логические связки и кванторы представляются в виде обов, составленных из символов алфавита комбинаторной логики, являющихся константами первого яруса. Среди всех двухярусных систем выделяется А-система со всеми логическими операторами и оператором λ. Ее правила, объединяют два яруса в формальное исчисление (в соответствии с программой Гильберта; см. Формализм), для которого доказываются теоремы о полноте (в смысле Гёделя, ср. его теоремы 1931 г. о неполноте известных исчислений гильбертовского типа) и непротиворечивости (в классическом секвенциальном смысле). Эти правила суть
где а и b – обы, Г, Θ – наборы обов, → и ⇒ суть символы секвенций 1-го и 2-го ярусов, алгоритмической (вычислительной) и дедуктивной (генценовской) соответственно. Говорят, что об а конвертируется в об b, если секвенция а → b выводима в чистой комбинаторной логике (в исчислении ШЧК).
Все элементы языка множеств теории записываются как обы комбинаторной логики с точностью до конвертируемости. Так, атомарная формула b ε а представляется обом bа, по формуле С и переменной x строится новый терм (новое множество) как об λхС, отражая тем самым исходный принцип Кантора: неограниченное образование новых множеств.
В классе всех выводов A-системы выделяется подкласс M всех выводов, в которых применения правила *, структурных и логических правил 2-го яруса ограничены описанными элементами теории множеств. В основе M лежат два принципа, характеризующие канторовскую («наивную») теорию множеств: неограниченное теоретико-множественное свертывание и классическая логика предикатов 1-го порядка без ограничений, соответствующие двум ярусам A-системы. Класс М выступает как вариант непротиворечивой формализации канторовской теории множеств.
Знаменитый парадокс Рассела (1902) отражается в классе M в виде выводов двух дедуктивных секвенций ⇒D) и ⇒⌉D, где ⌉ – знак отрицания, a D – об: ∃λу.Пλх. = (x ε у)(⌉(х ε x)), представляющий частный случай известной схемы теоретико-множественного свертывания, записанной на языке комбинаторной логики.
А. С. Кузичев
Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. II, Е – М, с. 275-276.
Литература:
Логика комбинаторная (Яновская С. А). — В кн.: Философская энциклопедия, т. 3. М., 1964; Schohnfinkel М. Uber die Bausteine der Mathematischen Logik. - «Math. Annalen», 1924, Bd 92; Seldin J. P., Hindley J. R. (eds.). To H. B. Curry: Essays on Combinatory Logic, Lambda Calculus and Formalism. L., 1980; Rem A. A Bibliography of Lambda-Culculi. Combinatory Logics and Related Topics. Amsterdam, 1982; Барендрегт X. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика. М., 19S5; Кузичев А. С. Об одной арифметически непротиворечивой Х-теории. — «Zeitschrift fur Math. Logikund GrundlagenderMathematik», 1983, Bd 29, H. 5; КузичеваЗ.А., Кузичев А. С. Системы с бесконечной логикой и неограниченным принципом свертывания. К 150-летию со дня рождения Г. Кантора. — В кн.: Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. М., 1997; Кузичев А. С. Вариант формализации канторовской теории множеств,—Доклады Российской Академии наук, 1999, т. 369, № 6; Он же. Решение проблемы Гильберта по Колмогорову. — Там же, 2000, т. 371, №3.