Экспоненциальное население

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ НАСЕЛЕНИЕ (от лат. exponens - показывающий), математическая модель, описывающая население с постоянными во времени темпом роста и одним из двух параметров его воспроизводства: возрастной структурой или функцией дожития.

Среди простейших моделей, определяющих тенденцию изменения общей численности населения, выделяются те, которые учитывают только постоянный темп роста. Если N(t) - общая численность населения в момент t, то динамика экспоненциального населения имеет вид: N(t) = N(0)ert, где N(0) - начальная численность населения, r - коэффициент естественного прироста, е - основание натуральных логарифмов. При r>0 или r<0 численность населения увеличивается или уменьшается согласно экспоненциальному закону. Если r = 0, то общая численность населения остается постоянной. Однако в такой модели ничего не известно о возрастной структуре и параметрах воспроизводства - рождаемости и смертности. Поэтому в современном понимании экспоненциальное население учитывает не только r, но также один из постоянных параметров режима воспроизводства. В этом смысле модель экспоненциального населения была впервые введена в демографию А. Дж. Лoткой (1907) и, независимо от него, В. И. Борткевичем (1911). При этом Лотка пользовался термином «мальтузианское население», который получил распространение в зарубежной литературе. Экспоненциальное население занимает центральное место в теории стабильного населения, поскольку позволяет аналитически выразить основные взаимосвязи между параметрами воспроизводства на основе интегрального уравнения типа уравнения Вольтерра:

где u и v - начальный и конечный возраст репродуктивного периода, l(x) - функция дожития, r - темп роста, f(x, t) - функция рождаемости.

Французский ученый Ж. Буржуа-Пиша предложил два метода классификации множества экспоненциального населения. Первый метод учитывает заданную функцию дожития 1(х) и определенное значение r. Формулы, выражающие зависимость между r и l(x), дают возможность вычислить основные характеристики экспоненциального населения. При этом доля женщин С(х) в возрасте от x до x + dx будет равна

Общий коэффициент рождаемости.

Другой метод классификации множества экспоненциального населения заключается в сочетании определенного возрастного состава нас. С(х) с некоторым заданным значением r. В этом случае имеет место аналитическая зависимость между r и С(х), которая позволяет вычислить недостающие характеристики экспоненциального населения. При этом общий коэффициент рождаемости: b = С(0); функция дожития l(x) = C(x)/C(0)*erx.. Отсюда интегральное уравнение воспроизводства принимает вид

В результате преобразований имеем:

Введение в экспоненциальное население заданной функции рождаемости f(x) приводит к единственной модели, в которой произвольный параметр r заменяется расчетным ρ - действительным корнем интегрального уравнения воспроизводства. Такую модель экспоненциального населения Лотка назвал стабильным населением, соответствующим функциям l(x) и f(x).

Первоначально экспоненциальное население рассчитывалось только для женского населения. С середины 40-х годов 20 века было сделано обобщение для обоих полов. В этом случае экспоненциальное население можно определить как население, в котором постоянны, а) доля рождений мальчиков; б) три из следующих 4 функций, функция дожития женщин; распределение женщин по возрасту; функция дожития мужчин, распределение мужчин по возрасту.

С. И. Пирожков.

Демографический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор Д.И. Валентей. 1985.

Литература:

Пирожков С. И., Демографические процессы и возрастная структура населения, М. 1976; Таба Л., Взаимосвязи между возрастной структурой, плодовитостью, смертностью и миграцией. Воспроизводство и обновление населения, пер. с англ., в кн. Демографические модели, М. 1977, Буржуа-Пиша Ж., Стабильные, полустабильные населения и потенциал роста, пер. с англ. там же.